≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Варианты заданий

Последовательности и прогрессии

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д15 C7 № 507630

Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740.

а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?

б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?


2
Задания Д15 C7 № 507744

Натуральные числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию, причём все они больше 500 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное, при указанных условиях, значение


3
Задания Д15 C7 № 507808

Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a1 = 5, a2 = 8, ..., aN и b1 = 9, b2 = 14, ..., bM совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии.


4
Задания Д15 C7 № 507829

Дана последовательность из нескольких натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 12, либо в 8 раз. Сумма всех членов последовательности равна 437.

а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?


5
Задания Д15 C7 № 484654

Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?


Аналоги к заданию № 484654: 484661 507489 Все

Решение · ·

6
Задания Д15 C7 № 484662

Каждое из чисел 5, 6, . . ., 9 умножают на каждое из чисел 12, 13, . . ., 17 и перед каждым произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?


Аналоги к заданию № 484662: 484666 Все


7
Задания Д15 C7 № 500116

Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.

а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?

б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?


8
Задания Д15 C7 № 500412

В ряд выписаны числа: Между ними произвольным образом расставляют знаки «» и «» и находят получившуюся сумму.

Может ли такая сумма равняться:

а) 12, если ?

б) 0, если ?

в) 0, если ?

г) 5, если ?


Аналоги к заданию № 500412: 500432 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

9
Задания Д15 C7 № 484652

Найдите все целые значения и такие, что

Решение · ·

10
Задания Д15 C7 № 501049

Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257.

а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?


Аналоги к заданию № 501049: 507829 507486 Все


11
Задания Д15 C7 № 500971

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

 

а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?

 

б) Докажите, что число её членов меньше 100.

 

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

 

г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами


12
Задания Д15 C7 № 485939

Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350.

а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?

б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?


Аналоги к заданию № 485939: 507630 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
Решение · ·

13
Задания Д15 C7 № 484667

Найдите все тройки натуральных чисел и удовлетворяющие уравнению где


14
Задания Д15 C7 № 514898

Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из различных натуральных чисел, первый член которой меньше 10, не содержит ни одного числа вида Какое наименьшее значение может принимать сумма первых 10 членов этой прогрессии?

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год

Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д15 C7 № 507655

Группу школьников нужно перевези из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью.

Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа В входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа А?


2
Задания Д15 C7 № 500068

Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.


Аналоги к заданию № 500068: 500351 514923 Все

Решение · ·

3
Задания Д15 C7 № 500351

Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см, можно разрезать на стандартные куски.


4
Задания Д15 C7 № 501220

В стране Дельфиния установлена следующая система подоходного налога (денежная единица Дельфинии ― золотые):

 

Заработок (в золотых)Налог (в %)
1 — 1001
101 — 40020
Более 40050

а) Два брата заработали в сумме 1000 золотых. Как им выгоднее всего распределить эти деньги между собой, чтобы в семье осталось как можно больше денег после налогообложения? При дележе каждый получает целое число золотых.

б) Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый также получит целое число золотых?

Источник: Добровольное тре­ни­ро­воч­ное тестирование Санкт-Пе­тер­бург 2013.
Решение · ·

5
Задания Д15 C7 № 514922

Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть S — модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найдите наименьшее значение S:

а) если дополнительно требуется, что в контейнерах должно находиться одинаковое количество коробок;

б) без дополнительного условия пункта а.

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

6
Задания Д15 C7 № 514923

Назовем кусок веревки стандартным, если его длина не меньше 168 см, но не больше 175 см.

а) Некоторый моток веревки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски.

Числа и их свойства

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д15 C7 № 507493

Наибольшее целое число, не превосходящее число x, равно Найдите все такие значения x.


Аналоги к заданию № 507493: 511434 Все

Решение · ·

2
Задания Д15 C7 № 507495

Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?


Аналоги к заданию № 507495: 507625 Все


3
Задания Д15 C7 № 507501

Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению


Аналоги к заданию № 507501: 511436 Все


4
Задания Д15 C7 № 507574

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 2m − 3n = 1.


Аналоги к заданию № 507574: 507579 511444 Все

Решение · ·

5
Задания Д15 C7 № 507579

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3n − 2m = 1.


6
Задания Д15 C7 № 507590

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:


7
Задания Д15 C7 № 507609

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие системе:


8
Задания Д15 C7 № 507613

Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А.

Решение · ·

9
Задания Д15 C7 № 507637

Решите в натуральных числах уравнение

Примечание.

Для натурального символом обозначается произведение


Аналоги к заданию № 507637: 507649 511455 Все


10
Задания Д15 C7 № 507649

Решите в натуральных числах уравнение

Примечание.

Для натурального символом обозначается произведение


11
Задания Д15 C7 № 507679

Винтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же винтики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 винтика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее число винтиков может быть при таких условиях?


12
Задания Д15 C7 № 507820

Решите в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k2, где n! = 1·2·...·n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n.


Аналоги к заданию № 507820: 511497 Все


13
Задания Д15 C7 № 507826

Решите в натуральных числах уравнение где


Аналоги к заданию № 507826: 511500 Все


14
Задания Д15 C7 № 484659

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше Найдите наименьшее возможное значение

Решение · ·

15
Задания Д15 C7 № 484660

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа В результате получается рациональное число. Найдите это число.


16
Задания Д15 C7 № 484663

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел и


Аналоги к заданию № 484663: 484664 511321 Все


17
Задания Д15 C7 № 484668

Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь можно сократить на b.


Аналоги к заданию № 484668: 484669 484670 511322 Все

Решение · ·

18
Задания Д15 C7 № 484673

Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.


Аналоги к заданию № 484673: 511323 Все


19
Задания Д15 C7 № 484653

Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами и найдите такую, знаменатель которой минимален.


Аналоги к заданию № 484653: 511317 Все


20
Задания Д15 C7 № 484655

Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и на


Аналоги к заданию № 484655: 511318 Все


21
Задания Д15 C7 № 484656

Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?


Аналоги к заданию № 484656: 511319 Все


22
Задания Д15 C7 № 484657

Произведение всех делителей натурального числа оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число ?


23
Задания Д15 C7 № 484658

Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.


Аналоги к заданию № 484658: 511320 Все


24
Задания Д15 C7 № 484665

Найдите несократимую дробь такую, что


25
Задания Д15 C7 № 514945

Учитель в школе ставит отметки от 1 до 5. Средний балл ученика равен 4,625.

а) Какое наименьшее количество оценок может иметь ученик?

б) Если у ученика заменить оценки 3, 3, 5, 5 на две четвёрки, то на сколько максимально может увеличиться средний балл?

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

26
Задания Д15 C7 № 514946

По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.

а) Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.

б) Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

27
Задания Д15 C7 № 515654

Решите в целых числах уравнение

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть C).

28
Задания Д15 C7 № 521913

В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каждой звездочки поставили знак сложения или вычитания (по своему усмотрению) и подсчитали результат.

а) Могло ли в результате вычисления получиться число 9?

б) Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?

в) В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каждой звездочки поставили знак умножения или деления (по своему усмотрению) и подсчитали результат. Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 237.

Числовые наборы на карточках и досках

Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д15 C7 № 521359

На доске записано несколько (не менее трёх) различных натуральных чисел, меньших 100, среди которых есть число 51.

Известно, что сумма любых двух из записанных чисел делится на какое‐либо из оставшихся чисел (*).

а) Может ли на доске быть написано ровно три числа?

б) Может ли на доске быть написано ровно 51 число?

в) Петя записал на доске все числа от 1 до 99 и проверил, что для них выполняется условие (*). Миша стёр одно число, после чего условие (*) перестало выполняться. Какое число мог стереть Миша?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 203.