а) Последовательно получаем:

б) Отбор корней сделаем с помощью единичной окружности.

Ответ: а) б)

Проведем апофему SK, соединим точки C и K отрезком, который пройдет через точку H. Точку пересечения KM и SH обозначим L.

а) По теореме Менелая имеем: ; где следовательно, что и требовалось доказать.

б) В Δ AKS, где

В Δ ABC

В Δ KHS, где

Так как SH ⊥ (ABC) по условию, L — общая точка MK и SH, то KH — проекция KL на плоскость ABC, следовательно, ∠LKH и есть угол между MK и плоскостью ABC.

Ответ: б)

Пусть Тогда

Перейдем к переменной x.

Итак, исходному неравенству удовлетворяют элементы множества

Ответ:

а) Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, r — радиус этой окружности, P ∈ BC, M ∈ AC. Соединим О с вершинами треугольника А, В и С.

Докажем, что CMOP — квадрат.

По свойству касательной к окружности: OP ⊥ BC, OM ⊥ AC. Следовательно, MC || OP, OM || CP, значит, CMOP — параллелограмм.

CMOP — параллелограмм, ∠P = 90°, значит, CMOP — прямоугольник, CMOP — прямоугольник, OM = OP = r, значит, CMOP — квадрат.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки: BK = BP, AK = AM, MC = CP.

То есть 2S(ABC) = AK · BK + S(ABC), откуда: S(ABC) = AK · BK, что и требовалось доказать.

б) Соединим точки M и K, M и P, P и K отрезками. Найдем r.

Очевидно, что

Но как было доказано выше, S(ABC)=AK · BK = 60. Следовательно,

Подходит r = 3.

Пусть ∠BAC = α, тогда:

Ответ: б)

Пусть в этой стране проживает n избирателей. Тогда численность городских избирателей составляет человек, сельских — человек. Если в проект состава правительства будет включено х человек из числа городских жителей, то из числа сельских жителей будет включено (100 − x) человек.

За предложенный проект проголосует городских жителей и сельских жителей. Всего

жителей. А значение последнего выражения должно быть больше

Решим неравенство относительно x:

Ответ: 51.

Замечание: задача решена при условии, что в число городских (сельских) жителей страны включаются только те жители, которые имеют право голоса на выборах правительства.

Преобразуем исходное уравнение так:

Заданное уравнение будет иметь ровно один корень, если:

а) Дискриминант уравнения * равен нулю и при этом

б) Дискриминант уравнения (*) больше нуля, и при этом один из корней этого уравнения равен —

Найдем дискриминант D уравнения (*).

Далее:

а)

Проверим пригодность полученных значений а.

При будем иметь: Однако, это уравнение решений не имеет, значит, 0 не относится к числу искомых значений параметра.

При

Итак, 3 — искомое значение параметра.

2) Неравенству удовлетворяют все значения а, за исключением 0 и 3. То есть уравнение (*) имеет два различных действительных корня при всех значениях а, отличных 0 и 3. Но нас интересует такое значение а, при котором один из корней упомянутого уравнения равен — a. Обозначим его x₁. Другой же корень пусть будет x₂, причем x₁ ≠ x₂. Тогда в соответствии с теоремой Виета:

т.е.

Как было показано выше, значение a = 0 не подходит. Подходящим значением а является число 1. Убедимся в этом.

При a = 1 имеем:

Итак, при a = 1 одним из корней уравнения (*) является число 1, которое также является корнем уравнения, заданного условием. А другим же корнем уравнения (*) будет −a, равное −1, что не может служить корнем исходного уравнения.

Ответ: 1; 3.

Далее возможны три случая:

1. Две другие стороны треугольника не пересекают стороны четырехугольника (рис.1). Общая фигура — шестиугольник

2. одна из сторон треугольника пересекают сторону четырехугольника (рис.2). Общая фигура — семиугольник

3. Две другие стороны треугольника пересекают стороны четырехугольника (рис.3). Общая фигура — восьмиугольник

Т. к. других вариантов нет.

Ответ: а) да; б) да; в) нет

Если ни одна из сторон треугольника не отсекает от ABCD два угла, то легко проверить, что максимальное количество углов общего многоугольника будет 7.