а) Поскольку левая часть исходного уравнения неотрицательна при всех Тогда:

б) Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.

Ответ: а) б)

а) Пусть O — центр основания пирамиды, D — середина ребра АB, E — середина SO, ∠FDC = α, ∠FCD = β. Тогда

Ребро SC — наклонная к плоскости основания пирамиды, SO — перпендикуляр, CO — проекция наклонной, по теореме о трех перпендикулярах что и требовалось доказать.

б) В плоскости (DSC), которая содержит высоту пирамиды SO, через точку E проведем прямую, пересекающую ребро SC в точке F. Соединим эту точку с вершинами Aи B пирамиды. Δ AFB — сечение, упомянутое в условии задачи.

В

В Значит,

В

Ответ: б)

Получим:

Пусть Тогда

Полученное неравенство решим методом интервалов.

Итак, Перейдем к переменной х.

Таким образом,

Ответ:

а) Обозначим: центы окружностей точки касания окружностей: общую точку и окр. проекцию точки на — Соединим центры окружностей отрезками. Пусть радиус окружностей равен

Рассмотрим треугольник Он равносторонний, поскольку каждая его сторона равна Стороны треугольника являются средними линиями треугольника следовательно, каждая его сторона будет равна что и требовалось доказать.

б) Поскольку каждая заданная окружность вписана в один из углов равностороннего треугольника их центры лежат на соответствующих биссектрисах треугольника Следовательно, а это значит, что

Очевидно, что

это — с одной стороны.

Это — с другой стороны. Значит,

Ответ:

Рассмотрим первую схему. Пусть х руб. – искомая фиксированная сумма

Который отчетный месяц?	Долг к концу месяца с учетом начисленных процентов (руб.)	Анатолий переводит в банк (руб.)	Долг Анатолия на начало следующего месяца (руб.)
Первый		х
Второй		х
Третий		х

Теперь рассмотрим вторую схему.

Который отчетный месяц?	Анатолий должен перевести в банк
	Часть кредита по основному долгу (руб.)	Процентные ставки банка	Всего (руб.)
Первый
Второй
Третий

Итак, если Анатолий воспользуется второй схемой, то он в банк должен будет вернуть сумму, равную

А эта сумма меньше, чем 399300, на 2100 руб.

Замечание:

Эту разницу можно было бы вычислить и так:

1)

2)

3)

4)

Ответ: выгодна вторая схема. 2100 рублей.

Исходное уравнение равносильно системе

Данная система не будет иметь действительных корней в двух случаях:

1) Будет верна система

при том, что дискриминант квадратного трехчлена будет неотрицательным.

2) Дискриминант квадратного трехчлена будет меньше нуля.

Рассмотрим функцию Для того чтобы были выполнены указанные оба условия необходимо и достаточно одновременное выполнение неравенств:

Ответ:

а) Ясно, что число 100! делится на все натуральные числа от 1 до 100. Несложно проверить, что число 101 является простым, поэтому 100! на него не делится (в разложении 100! на простые множители нет простых множителей, больших ста).

б) Разложим число 100! на простые множители. Среди чисел от 1 до 100 ровно 20 (5,10,15,...) делится на 5, и еще 4 (25,50,75,100) делятся на , поэтому число 5 будет входить в разложение в двадцать четвертой степени. Ясно, что число 2 будет входить в разложение 100! в степени, большей, чем 24. Поэтому 100! делится на , и не делится на

в) Рассмотрим сначала последнюю цифру произведения всех чисел от 1 до 100, не кратных 5. Для этого посчитаем последнюю цифру произведения Она равна 6. Последняя цифра произведения тоже будет 6. Сделаем, однако, хитрость и число в произведение не включим. Тогда последняя цифра произведения будет равна 4. Аналогично, последняя цифра произведения всех чисел от 1 до 100, не кратных 5, исключая число 64, будет равна 4, так как при умножении чисел, заканчивающихся на 6 и на 4, получается число, заканчивающееся на 4. Теперь посмотрим на последнюю ненулевую цифру числа Она равна последней ненулевой цифре произведения Последняя ненулевая цифра такого произведения равна 1.

В итоге получаем, что последняя ненулевая цифра числа 100! равна 4 (произведение чисел, оканчивающихся на 1 и 4, оканчивается на 4).

Ответ: а) 101; б) 24; в) 4.