PDF-версии: 
На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на две кучки.
а) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?
б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?
в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?
Решение. Сразу заметим, что суммарная масса всех камней равна 
а) Нужно сделать кучки весом 98 и 104 килограмма. Это возможно: например, можно в первую положить 7 камней по 14 кг, а во вторую — все остальные.
б) Ясно, что в одной из кучек должен быть один камень в 5 кг, а в другой три (иначе общая масса кучки будет четной, а должна быть 101). Но 
что не кратно 14, поэтому набрать такую кучку нельзя.
в) В одной из кучек лежат минимум 7 камней по 14 кг. Значит, ее масса минимум 98. Если в нее больше ничего не добавлять, получим пример из пункта а) с ответом 6 кг. Если добавить 14, то она будет весить не менее 
а вторая не более 
поэтому разность будет не менее 
Значит, можно добавлять только по 5 кг. Если добавить один такой камень, то массы кучек станут 103 и 99, что даст разность 4. Другое число камней только увеличит первую кучку и уменьшит вторую, Поэтому разность увеличится. Значит, это оптимальный пример.
Ответ: а) да; б) нет; в) 4 кг.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
не кратны 20, поэтому набрать такую кучку нельзя.
поэтому разность будет не менее 
Такая разность возможна, если больше ничего к этим шести камням не добавлять.
что не кратно 22, поэтому набрать такую кучку нельзя.
Если добавить 22, то она будет весить не менее 
а вторая не более 
поэтому разность будет не менее 
Значит, можно добавлять только по 7 кг. Если добавить один такой камень, то массы кучек станут 117 и 109, что даст разность 8. Другое число камней только увеличит первую кучку и уменьшит вторую, Поэтому разность увеличится. Значит, оптимальный пример — когда ничего не добавляют.