Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов

а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

Значит, откуда находим Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000 . Значит, наибольшее значение n равно 44.

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, число n является делителем числа 258. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а) да; б) 44; в) 3, 6.