ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Каталог заданий

Назад в каталог
Вернуться к списку прототипов этой категории
Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 17 № 503150 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x)=2ax плюс |x в степени 2 минус 8x плюс 7|$ больше 1.

Решение.

При $x в степени 2 минус 8x плюс 7 \geqslant 0$ получаем, что $f(x)=x в степени 2 плюс 2(a минус 4)x плюс 7.$ График этой функции на рассматриваемом промежутке состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии $x=4 минус a.$ При $x в степени 2 минус 8x плюс 7 меньше 0$ находим $f(x)= минус x в степени 2 плюс (2a плюс 8)x минус 7,$ а график этой функции на рассматриваемом промежутке — часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Наименьшее значение функции $f(x)$ может принять только в точках $x=1,$ $x=7$ или $x=4 минус a.$ Поэтому наименьшее значение функции $f(x)$ больше 1 тогда и только тогда, когда:

$система выражений новая строка f(1) больше 1, новая строка f(7) больше 1, новая строка f(4 минус a) больше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка 2a больше 1, новая строка 14a больше 1, новая строка 2a(4 минус a) плюс |a в степени 2 минус 9| больше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 2a в степени 2 минус 8a плюс 1 минус |a в степени 2 минус 9| меньше 0. конец системы .$

Если $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 3,$ то второе неравенство принимает вид $3a в степени 2 минус 8a минус 8 меньше 0,$ откуда $дробь: числитель: 4 минус корень из 40, знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 4 плюс корень из 40, знаменатель: 3 конец дроби .$ Этот промежуток содержит интервал $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 3 правая круглая скобка .$

Если $a\geqslant3,$ то $a в степени 2 минус 8a плюс 10 меньше 0,$ откуда $4 минус корень из 6 меньше a меньше 4 плюс корень из 6.$ Значит, $3\leqslant a меньше 4 плюс корень из 6.$

Объединяя найденные промежутки, получаем: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 4 плюс корень из 6.$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 4 плюс корень из 6.$

Приведём другое решение.

1. При $x в степени 2 минус 8x плюс 7\geqslant 0$ функция принимает вид: $f(x)=x в степени 2 плюс 2(a минус 4)x плюс 7,$ а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии $x=4 минус a.$

При $x в степени 2 минус 8x плюс 7 меньше 0$ функция принимает вид: $f(x)= минус x в степени 2 плюс 2(a плюс 4)x минус 7,$ а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз и осью симметрии $x=4 плюс a.$

Возможные виды графика функции $f(x)$ показаны на рисунках.

2. Наименьшее значение функция $f(x)$ может принимать только в точках $x=1$ или $x=7,$ а если $4 минус a\notin [1,7]$ (то есть при $|a| больше 3$ ), то в точке $x=4 минус a.$

3. Следовательно, наименьшее значение функции $f(x)$ больше $1$ тогда и только тогда, когда:

$совокупность выражений система выражений f(1) больше 1, f(7) больше 1, |a|\leqslant 3, конец системы . система выражений f(4 минус a) больше 1, |a| больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений 2a больше 1, 14a больше 1, |a|\leqslant 3, конец системы . система выражений (a минус 4) в степени 2 минус 2(a минус 4) в степени 2 плюс 7 больше 1 |a| больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби , |a|\leqslant 3, конец системы . система выражений (a минус 4) в степени 2 меньше 6, |a| больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a\leqslant 3, система выражений 4 минус корень из 6 меньше a меньше 4 плюс корень из 6, |a| больше 3, конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a\leqslant3, 3 меньше a меньше 4 плюс корень из 6 конец совокупности . равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 4 плюс корень из 6.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,4 плюс корень из 6 правая круглая скобка .$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 4 плюс корень из 6.$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,4 плюс корень из 6 правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 485938: 485946 503150 511452 561198 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по математике.

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Группировка

РешениеСпрятать решение · Прототип задания ·

· Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе