Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно к, то выполнено 100a + 10b + c = ka + kb + kc.

а) Если частное равно 20, то 100a + 10b + c = 20a + 20b + 20c; 80а = 10b + 19c, что верно, например, при b = 8, a = 1, c = 0: частное числа 180 и суммы его цифр равно 20.

б) Если частное равно 81, то 100a + 10b + c = 81a + 81b + 81c. Получаем: a < 10: 19a < 190; 71b + 80c < 190. Значит, b + c < 3. Но ни 71, ни 80, ни 142, ни 151, ни 160 не делится на 19. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 81.

в) Пусть k — наименьшее натуральное значение частного числа и суммы его цифр — равно 10 или меньше. Тогда Учитывая условие получаем неравенство

откуда Это противоречит условию Значит, наименьшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 11.

Частное числа 198 и суммы его цифр равно 11.

Ответ: а) да; б) нет; в) 11.