Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)

Каталог заданий

Тип 18 № 505040 Добавить в вариант

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $(n больше или равно 3).$

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Решение.

Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Обозначим a — первый член этой прогрессии, a d её разность. Тогда сумма её членов равна $S_n= дробь: числитель: 2a плюс d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби умножить на n.$

а) Да, может. Числа $2, 3, 4, 5$ составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна $14.$

б) Для суммы членов арифметической прогрессии состоящей из натуральных чисел верно неравенство $дробь: числитель: 2a плюс d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби умножить на n больше или равно дробь: числитель: 2 плюс (n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби умножить на n = дробь: числитель: n(n плюс 1), знаменатель: 2 конец дроби .$ Значит, $дробь: числитель: n(n плюс 1), знаменатель: 2 конец дроби меньше 900,$ откуда находим $n меньше или равно 41.$

в) Для суммы членов арифметической прогрессии верно:

$дробь: числитель: 2a плюс d(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби умножить на n = 123 равносильно (2a плюс d(n минус 1))n=246=2 умножить на 3 умножить на 41.$

таким образом, число n является делителем числа $246.$ Если $n больше или равно 41,$ то $(2a плюс d(n минус 1))n больше или равно 41 умножить на 42 больше 246,$ следовательно, $n меньше 41.$ Поскольку $n больше или равно 3,$ получаем, что $n=3$ или $n=6.$ Прогрессии из $3$ и $6$ членов с суммой $123$ существуют: например, $40,41,42$ и $18,19,20, 21, 22, 23.$

Ответ: а) да; б) $41;$ в) $n=3,n=6.$

Приведем другое решение.

а)  $2 плюс 3 плюс 4 плюс 5=14.$

б)  $(2a_1 плюс (n минус 1)d)n меньше или равно 1800.43 умножить на 42 = 1806, 42 умножить на 41 = 1722.$ Так как $2a_1 плюс (n минус 1)d меньше или равно 2 плюс (n минус 1) = n плюс 1$ Число n не может быть равно $42$ или быть больше. Число $n=41, a=1, d=1$ удовлетворяет условию.

в)  $(2a_1 плюс (n минус 1)d)n =246, 3 меньше или равно n меньше или равно 15, (n больше или равно 16 \Rightarrow 2a_1 плюс (n минус 1)d больше или равно 17 )$  — не удовлетворяет. $16 умножить на 15=240,$ $246=1 умножить на 246=2 умножить на 123=3 умножить на 82 = 6 умножить на 41.$

Так как $3 меньше или равно n меньше или равно 15$ имеем $n=3, 2a_1 плюс (n минус 1)d=82: 2a_1 плюс 2d=82, a_1 плюс d=41:41 минус d,41, 41 плюс d$  — много есть таких прогрессий. Имеем $n=6,2a_1 плюс (n минус 1)d=41: 2a_1 плюс 2d=82, a_1 плюс 5d=41:$ $d=7, a_1=3: 3, 10, 17, 42, 31, 38$  — есть такая прогрессия.

Ответ: а) да; б) $41;$ в) $n=3,n=6.$

----------

Дублирует задание 501512.

Ответ: а) да; б) $41;$ в) $n=3,n=6.$ а) да; б) $41;$ в) $n=3,n=6.$

505040

а) да; б) $41;$ в) $n=3,n=6.$ а) да; б) $41;$ в) $n=3,n=6.$

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Запад. Вариант 1.

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505040	а) да; б) $41;$ в) $n=3,n=6.$ а) да; б) $41;$ в) $n=3,n=6.$