Каталог заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
Задание 18 № 509847 
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
и пусть 
причем 
Тогда 
Вспоминая, что 
получаем оценки 
и 
находим, что наибольшее k будет достигнуто при одновременном выполнении 
и 
то есть, при выполнении системы неравенств:
(
). Таким образом, наибольшее значение 
Это может быть достигнуто при таком наборе чисел: одиннадцать чисел 19, семь чисел 18 и одно число 28 (
; 
).Источник: ЕГЭ — 2015. Досрочная волна, вариант А. Ларина., ЕГЭ по математике — 2015. Досрочная волна, Запад.
Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки