Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)

Каталог заданий

1. Задания Д14 C4 № 511343

Угол C треугольника ABC равен $60 градусов,$ D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что $DB= 1,DC=3.$ Найдите угол $A.$

Решение. Точка D лежит на окружности с диаметром AB, поэтому $\angle CDA=90 градусов.$ Аналогично, $\angle BDA=90 градусов.$ Следовательно, точка D лежит на прямой $BC.$

Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим:

$AD=CD корень из (3) =3 корень из (3) ,AB= корень из (AD в квадрате плюс BD в квадрате ) = корень из (27 плюс 1) =2 корень из (7) .$

Возможны два случая.

Первый случай. Точка D лежит на отрезке BC (рис. 1). По теореме синусов $дробь: числитель: синус A, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: синус C, знаменатель: AB конец дроби ,$ то есть $дробь: числитель: синус A, знаменатель: 4t конец дроби = дробь: числитель: \dfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби 2 корень из (7) ,$ откуда $синус A= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: корень из (7) конец дроби = дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби .$

Второй случай. Точка D лежит на продолжении отрезка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может лежать на продолжении отрезка BC за точку C, так как угол ACB — острый. $дробь: числитель: синус A, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: \dfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби 2t корень из (7) ,$ откуда $синус A= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 корень из (7) конец дроби = дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .$

Поскольку $BC меньше AC,$ получаем: $\angle BAC меньше \angle ABC,$ значит, $\angle BAC$  — острый и равен $\arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби$ или $\arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .$

Ответ: $\arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби , \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины 2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 3

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

511343

$\arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби , \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .$

Методы геометрии: Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511343	$\arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 7 конец дроби , \arcsin дробь: числитель: корень из (21) , знаменатель: 14 конец дроби .$