Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [13; 70]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.
а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 7 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
Решение. а) Например, для набора чисел {13; 14; 15; ...; 25} Васин результат равен 13 · 14 · 15 · ... · 25, Петин результат равен 14 · 15 · 16 · ... · 26, то есть в два раза больше.
б) От добавления новых чисел отношение результатов Пети и Васи становится только больше. Значит, наибольшее отношение будет, если Вася перемножит все натуральные числа из отрезка [13; 70]. В этом случае Васин результат равен 13 · 14 · 15 · ... · 70, а Петин результат равен 14 · 15 · 16 · ... · 71. Отношение этих чисел равно
Значит, Петин результат не может быть ровно в 7 раз больше Васиного.
в) В пункте б было показано, что Петин результат превосходит Васин не более чем в
раза. Наибольшее целое число, меньшее
— это 5.
Для набора чисел {13; 14; 15; ...; 64} Васин результат равен 13 · 14 · 15 · ... · 64, Петин результат равен 14 · 15 · 16 · ... · 65, то есть в пять раз больше.
Значит, наибольшее целое отношение результатов Пети и Васи равно 5.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 202. Юг