В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 8. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость 
, параллельная ребру MС.
а) Докажите, что сечение плоскостью пирамиды MABC является параллелограммом.
б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью .
Решение.а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость пересекает плоскость BMC по отрезку KL, параллельному ребру MC. Следовательно, плоскость пересекает плоскость AMC по прямой, параллельной ребру MC. На этой прямой лежит средняя линия треугольника AMC, поэтому плоскость проходит через точку O — середину отрезка AC. Таким образом, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны KL и QO параллельны отрезку MC и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.
б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный
треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому 
По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому
и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда 
и 
Площадь параллелограмма QKLO равна 
Ответ: 
