Обозначим в исходном уравнении

Имеем:

Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением , имеют с единичной окружностью точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

В системе координат, изображённой на рисунке, уравнение задаёт пучок прямых (отмечены красным цветом), проходящих через точку

Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через (1; 0): У прямой, проходящей через точку угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется, если

Ответ:

ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

Преобразуем уравнение:

Функция в левой части уравнения на отрезке монотонно убывает от 9k до 6k. Функция в правой части монотонно возрастает от 0 до 2. Таким образом, уравнение на отрезке будет иметь единственный корень в случае если и то есть при

Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку . В этом случае получим:

откуда получаем ответ.

Приведём другое решение.

Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка кроме точки, в которой то есть кроме точки На этой области имеем:

Найдём множество значений левой части. Пусть тогда

Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка кроме значения Тем самым,

Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка кроме

Приведем третье решение.

ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

Преобразуем уравнение:

Обозначим тогда последнее уравнение примет вид В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены красным цветом), проходящих через точку

Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную синим цветом, и не проходить через точку

Угловой коэффициент горизонтальной прямой

У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент

У прямой, проходящей через точку , угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется при

Вернувшись к параметру , получаем:

Комментарий.

Изложим идею решения иными словами.

Обозначим в исходном уравнении Далее заметим, что при условии можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

Ответ: или

Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену: Тогда уравнение имеет вид:

Это равносильно условию Получаем

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу (4; 19) , только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19. Получаем

Ответ:

Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену:

Тогда уравнение примет вид:

Это равносильно условию Получаем:

Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23], только если правая граница отрезка решений не меньше 5, а левая не больше 23. Получаем

Таким образом, данное уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23] при принадлежащем множеству [4; 7].

Ответ: [4; 7].

Решение 1. Положим где так как

Тогда, исходное уравнение принимает вид Найдем множество значений функции на отрезке [0; 2]. Так как на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок т. е. отрезок Таким образом, уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия

Решение 2. Положим где так как и рассмотрим функцию Так как ее производная на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, значит, имеет на нем не более одного корня. Этот корень есть тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия и Таким образом, приходим к системе

Решение 3 (Указание). Построить эскиз графика функции на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой

Ответ:

Уравнение равносильно системе

Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку либо промежутку

Поскольку графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  при условии

откуда (рис. 1).

Уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при условии

откуда  (рис. 2).

Уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при и при

Ответ:

Приведём другое решение.

Выразим параметр a как функцию переменной x, и построим график полученной зависимости:

Тем самым, уравнение имеет решения на [−1;1) при и при

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений

Сравним полученные корни, чтобы понять, какой из них наименьший, а какой наибольший.

Следовательно, x₂ — наибольший корень.

Следовательно, x₃ — наименьший корень.

Осталось решить неравенство

Заметим, что

Поэтому наш ответ — число 17.

Ответ: 17.

Рассмотрим функцию Её минимальное значение равно 2 и достигается при

Исходное уравнение принимает вид

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда двойное неравенство

имеет решения.

Заметим, что множество значений выражения это при

и при

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при

Ответ:

Уравнение равносильно уравнениям и Положим Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу либо имеет единственный корень на отрезке равный 0 или 2, либо квадратный трёхчлен принимает при и ненулевые значения разных знаков.

Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при или, что то же самое, при

При таком значении уравнение имеет единственный корень он принадлежит отрезку 

Рассмотрим второй случай. Имеем и Значит, при При таком значении уравнение имеет два решения и на отрезке Аналогично при При таком значении уравнение имеет единственное решение на отрезке

Рассмотрим третий случай. Значения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда  или, что то же самое, при

Следовательно, уравнение имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда или .

Ответ:

Уравнение равносильно уравнениям и Положим Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу либо имеет единственный корень на отрезке равный −1 или 1, либо квадратный трёхчлен принимает при и ненулевые значения разных знаков.

Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при или, что то же самое, при

При таком значении уравнение имеет единственный корень он принадлежит отрезку 

Рассмотрим второй случай. Имеем и Значит, при При таком значении уравнение имеет два решения и на отрезке Аналогично при При таком значении уравнение имеет единственное решение на отрезке

Рассмотрим третий случай. Значения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда  или, что то же самое, при

Следовательно, уравнение имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда или

Ответ:

Сделаем замену Получаем:

Следовательно, Дискриминант этого уравнения равен поэтому оно при всех значениях a имеет ровно два различных корня. Положим Так как оба корня уравнения принадлежат промежутку тогда и только тогда, когда и то есть когда и Значит, уравнение имеет ровно два различных корня на промежутке при

Ответ:

Уравнение равносильно системе

Из уравнения получаем и Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при и выполнялось неравенство а также чтобы были выполнены условия и Получаем систему неравенств:

Ответ:

В системе координат хOa изобразим окружность, задаваемую уравнением все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставим второе уравнение в первое и решим полученное уравнение на x. Тем самым, найдем точки пересечения окружности и параболы: и — точка касания.

Итак, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда

Ответ:

В системе координат хOa изобразим ломаную, задаваемую уравнением все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставим второе уравнение в первое и решим полученное уравнение на x. Тем самым, найдем точки пересечения ломаной и параболы: и

Итак, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда

Ответ:

Заметим, что

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения Получаем или

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения Получаем или

Ровно два решения исходное уравнение имеет при

Ответ:

Запишем выражение в виде

Для того чтобы данная система имела два различных решения, нужно чтобы числа и были различны, а также ни одно из них не равнялось

Все остальные значения параметра подходят.

Ответ:

Заметим, что

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения парабол и найдём из уравнения

Получаем или или

Вершина параболы в точке

Ровно два решения исходное уравнение имеет при

Ответ:

Заметим, что

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения Получаем или

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения Получаем или

Ровно два решения исходное уравнение имеет при

Ответ:

Если , то уравнение решений не имеет.

Пусть a = −5. Тогда уравнение имеет вид и ни одно число из отрезка [3, 5] не является его решением.

Пусть a > −5. Запишем уравнение в виде

При a > −5 верно неравенство и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка , поскольку длина этого отрезка равна и уравнению удовлетворяют те и только те точки х, сумма расстояний от каждой из которых до точек и равна

Осталось выбрать те значения а, при каждом из которых отрезок содержит отрезок [3, 5]. Это выполнено тогда и только тогда, когда

Ответ:

Последовательно выполним следующие преобразования:

Из ОДЗ следует, что поэтому для первой строчки совокупости имеем

Для второй строчки совокупности изобразим на координатной плоскости множество точек. Построим графики функций и Первый график — прямая с коэффицентом наклона и проходящая через начало координат. Второй график — множество кривых со сдвигом вдоль оси абсцисс на a единиц. Из графика видим, что единственное решение возможно при Проверим его, подставив в исходное уравнение:

Видим, что дает два корня, поэтому это значение нам не подходит. Поэтому наш итоговый ответ выглядит следующим образом:

Ответ: