Решение. Обозначим в исходном уравнении

Имеем:

Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением имеют с единичной окружностью точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

В системе координат, изображённой на рисунке, уравнение задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку

Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через (1; 0): У прямой, проходящей через точку угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется, если

Ответ:

Решение. ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

Преобразуем уравнение:

Функция в правой части уравнения на отрезке монотонно возрастает от 0 до 2. Функция в левой части монотонно убывает от 9k до 6k при . Таким образом, уравнение на отрезке будет иметь единственный корень в случае если и то есть при При функция в левой части уравнения отрицательна, и уравнение корней не имеет.

Осталось только выкинуть случай, когда единственный корень попадает в точку В этом случае получим:

откуда получаем ответ.

Приведём другое решение.

Областью определения заданного уравнения являются все числа отрезка кроме точки, в которой то есть кроме точки На этой области имеем:

Найдём множество значений левой части. Пусть тогда

Найденная производная положительна на области определения уравнения, функция f (t) возрастает на ней, принимая все значения из отрезка кроме значения Тем самым,

Следовательно, искомыми значениями параметра являются все числа из отрезка кроме

Приведем третье решение.

ОДЗ данного уравнения:

Задачу можно переформулировать так: найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

Преобразуем уравнение:

Обозначим тогда последнее уравнение примет вид В системе координат, изображённой на рисунке, оно задаёт пучок прямых (отмечены оранжевым цветом), проходящих через точку

Точки пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью представляют собой решения уравнения. Чтобы на промежутке были решения, прямая должна пересекать дугу окружности, выделенную зелёным цветом, и не проходить через точку

Угловой коэффициент горизонтальной прямой

У прямой, проходящей через верхнюю точку дуги, угловой коэффициент

У прямой, проходящей через точку угловой коэффициент

Таким образом, условие задачи выполняется при

Вернувшись к параметру получаем:

Комментарий.

Изложим идею решения иными словами.

Обозначим в исходном уравнении Далее заметим, что при условии можно избавиться от знаменателя, привести подобные члены и записать исходное уравнение в виде Отметим далее, что в силу введённых обозначений Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением (*), имеют с единичной окружностью (**) точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой

Ответ: или

Решение. Пусть тогда уравнение принимает вид

где Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение (⁎) должно иметь единственное решение.

Если то уравнение не имеет решений.

Если то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).

Если уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая касается графика функции (см. рис.), что задаётся системой соотношений:

Заметим, что найденное значение параметра, действительно, положительно.

Ответ:

Решение. Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену: Тогда уравнение имеет вид:

Это равносильно условию Получаем

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу (4; 19) , только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19. Получаем

Ответ:

Решение. Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

Сделаем замену:

Тогда уравнение примет вид:

Это равносильно условию Получаем:

Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23], только если правая граница отрезка решений не меньше 5, а левая не больше 23. Получаем

Таким образом, данное уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23] при a принадлежащем множеству [4; 7].

Ответ: [4; 7].

Решение. Решение 1. Положим где так как

Тогда, исходное уравнение принимает вид Найдем множество значений функции на отрезке [0; 2]. Так как на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок то есть отрезок Таким образом, уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия

Решение 2. Положим где так как и рассмотрим функцию Так как ее производная на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, значит, имеет на нем не более одного корня. Этот корень есть тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия и Таким образом, приходим к системе

Решение 3 (Указание). Построить эскиз графика функции на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой

Ответ:

Решение. Рассмотрим функции и Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков данных функций. Определим, при каких a графики будут иметь более двух общих точек на открытом луче

Уравнение задает семейство прямых, проходящих через точку с угловым коэффициентом, равным a. Изобразим эскиз графика функции f (см. рис.) и заметим, что при графики не имеют общих точек на промежутке

Рассмотрим положительные значения параметра. Если угловой коэффициент прямой меньше, чем у прямой n, или больше, чем у прямой m, то на промежутке графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой n или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые лежат внутри острого угла, образованного прямыми n и m. Найдем граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.

Прямая n проходит через точку тогда откуда находим Заметим, что на луче функция f принимает вид и что прямая n вторично пересекает график f в точке

Прямая m касается ветви гиперболы Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение или имеет единственное решение. Чтобы квадратное относительно уравнение имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен нулю, отсюда

При найденном значении параметра точка касания С имеет координаты она действительно лежит между точками A и B, как показано на рисунке, иначе оказалось бы, что рисунок неверен, и потребовалось бы рассмотреть соответствующую конфигурацию.

Итак, при исходное уравнение будет иметь более двух корней на

Ответ:

Приведём авторское решение.

Рассмотрим функции и Исследуем уравнение на промежутке

При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции  — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает. Функция убывает на промежутке поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда откуда получаем то есть

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнения не имеет корней, при уравнения имеет единственный корень, равный при уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня и то есть то больший корень поэтому он принадлежит промежутку Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда

Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке

— нет корней при

— один корень при и при

— два корня при и при

— три корня при

Ответ:

Решение. Запишем уравнение в виде Рассмотрим две функции: и Графиком функции является полуокружность радиуса с центром в точке лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении a графиком функции является прямая с угловым коэффициентом проходящая через точку

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций и имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

Касательная MC, проведённая из точки M к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при исходное уравнение имеет единственный корень. При прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая MA, заданная уравнением проходит через точки и следовательно, её угловой коэффициент При прямая, заданная уравнением имеет угловой коэффициент не больше, чем у прямой MA, и пересекает полуокружность в двух точках. При прямая, заданная уравнением имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA, и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при исходное уравнение имеет единственный корень. При  прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Ответ:

Решение. Выразим параметр a из заданного уравнения x:

Исходное уравнение имеет решения на полуинтервале [−1; 1) тогда и только тогда, когда прямые имеют общие точки с графиком функции при условиях Тем самым (см. рис.), искомыми значениями параметра являются исключая

Ответ:

Приведём другое решение.

Уравнение равносильно системе

Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку либо промежутку

Поскольку графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  при условии

откуда (рис. 1).

Уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при условии

откуда  (рис. 2).

Уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку при и при

Решение. Определим, что при a < 0 уравнение не имеет решений, так как левая часть не меньше нуля, а правая меньше нуля. Определим, для каких a ≥ 0 графики функции и имеют более двух общих точек на области

Заметим, что при всех a ≥ 1 уравнение имеет хотя бы один корень, не превосходящий нуль. При уравнение имеет два решения. При где m — значение a, которому соответствует точка касания графика функции и графика функции Найдём m:

Таким образом, при уравнение имеет два решения, а при больших a — только одно решение. Значит,  — единственный промежуток, на котором уравнение имеет больше двух решений (то есть три).

Ответ:

Приведём ещё одно решение:

Рассмотрим функции и Исследуем уравнение

На промежутке функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, то есть при

При уравнение принимает вид При левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При это уравнение сводится к квадратному уравнению дискриминант которого поэтому при это уравнение не имеет корней, при  — уравнение имеет единственный корень, равный при  — уравнение имеет два корня.

Пусть уравнение имеет два корня, и

Тогда меньший корень а больший корень не превосходит если то есть при

По теореме Виета поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений и Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.

Таким образом, при уравнение не имеет корней при и имеет один корень при и имеет два корня при

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней:

— нет корней при

— один корень при и

— два корня при и

— три корня при

Ответ:

Решение. Запишем уравнение в виде и рассмотрим графики функций и График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а.

Уравнение будет иметь три различных решения, если вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1), или если одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).

В первом случае и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6.

Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение должно иметь единственное решение.

Приведём уравнение к стандартному виду:

Из равенства нулю дискриминанта получаем

откуда

Если параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение

Оно имеет единственное решение, только если

Ответ: 3,5; 4; 4,5.

Приведем решение, основанное на идее Елизаветы Зелёненькой (Москва).

Построим график заданного уравнения в системе координат xOa. Для этого раскроем модуль:

Изобразим множество точек, удовлетворяющих полученным соотношениям, в плоскости xOa. Прямая, задаваемая уравнением a = x, разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Назовем эту прямую l.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке с координатами Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке с координатами В силу справедливости неравенств

первая из парабол лежит целиком ниже прямой l, а вторая лежит целиком выше этой прямой. Заметим также, что в силу сказанного точка с координатами является единственной общей точкой этих парабол и прямой l (см. рис.).

Определим теперь, при каких значениях параметра горизонтальные прямые будут иметь с построенным графиком исходного уравнения ровно 3 общие точки. Это прямые, задаваемые уравнениями а = 3,5 и а = 4,5, проходящие через вершины построенных парабол, и прямая задаваемая уравнением а = 4, проходящая через точку их касания.

Ответ: а = 3,5, а = 4, а = 4,5.

Решение. Запишем уравнение в виде

Построим графики левой и правой частей уравнения и Первая из них парабола с отраженной отрицательной частью, а вторая график модуля с вершиной в точке (см. рис.). Ясно, что вершина второго графика перемещается в зависимости от a по прямой Из рисунка видно, что подходящих значений a ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку при другом — касается отраженного участка параболы.

Первое происходит при а второе — когда уравнение

имеет единственный корень, то есть в случае, когда дискриминант равен нулю.

Ответ:

Приведем решение Елизаветы Зелёненькой (Москва).

Изобразим уравнение в системе координат xOa. Прямые a = x, x = −1, x = 3 разбивают плоскость на шесть областей, в каждой из которых знаки выражений и остаются постоянными.

Найдем знак каждого подмодульного выражения в каждой области:

I	+	−
II	−	−
III	+	−
IV	+	+
V	−	+
VI	+	+

Найдем уравнения для каждой области. Области I и III:

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой

Область II:

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой

Области IV и VI:

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой

Область V:

Графиком данной функции является парабола, координаты вершины которой

Изобразим в координатах (x; a):

Уравнение имеет ровно три корня при

Решение. Пусть тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:

Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции имеет с горизонтальными прямыми и ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если

При уравнение не имеет решений. Если то при а если то при имеем:

При неограниченном увеличении x значения функции стремятся к нулю, причём, для функция f является возрастающей, а при  — убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.

Тем самым, при должны быть выполнены неравенства откуда при должны быть выполнены неравенства откуда

Ответ:

Приведём авторское решение.

Пусть тогда получим:

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений или

Исследуем сколько решений имеет уравнение в зависимости от a и При и и то есть при левая часть определена и принимает вид

При выражение принимает по одному все значения из промежутка для и принимает по одному разу все значения из промежутка для Значит, при выражение принимает по одному разу все значения из промежутка при и принимает по одному разу все значения из промежутка при Таким образом, уравнение имеет одно решение при и не имеет решений при и При и уравнение принимает вид и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Уравнение и могут иметь общие решения при то есть при При оба уравнения принимают вид и имеют одно решение.

При других значениях a исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при a принадлежащем множеству

Решение. Отметим, что при уравнение не имеет неотрицательных корней, так как его левая часть неположительна, а правая положительна. Определим, для каких положительных a графики функции и имеют ровно две общие точки на области x > 0. График функции ― гипербола, её горизонтальная асимптота y = 0, вертикальная ― x = −1. При всех положительных значениях параметра уравнение имеет положительный корень больший числа 4 (см. рис.). Чтобы уравнение имело ровно два неотрицательных решения, значения параметра должны обеспечивать существование ровно одного второго корня на промежутке [0; 4). Заметим, что на этом промежутке

Определим вначале значение параметра, соответствующее касанию прямой y = a(4 − x) и гиперболы:

Заметим, что касанию прямой и гиперболы соответствует нуль дискриминанта полученного квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю при единственном положительном значении параметра Итак, касанию соответствует при этом абсцисса точки касания положительна:

Определим далее значение параметра, при котором прямая проходит через точку (0; 5).

Имеем: 

Итак, при и при уравнение имеет ровно два неотрицательных решения.

Ответ: при и при

Приведём авторское решение.

Рассмотрим функции и Исследуем на промежутке

При все значения функции на промежутке неположительны, а все значения функции  — положительны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает на промежутке Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке поскольку и

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнение не имеет корней, при уравнение имеет единственный корень, равный при уравнение имеет два корня.

Пусть уравнение имеет два корня, то есть Тогда оба корня меньше поскольку при значения функции неположительны, а значения функции положительны. По теореме Виета сумма корней равна а произведение равно Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда

Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке

1) Нет корней при

2) Один корень при

3) Два корня при и

4) Три корня при

Ответ:

Решение. Отметим, что при уравнение не имеет положительных корней, так как его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Определим, для каких положительных a графики функций имеют более двух точек пересечения на области x > 0.

Уравнение y = ax − 1 задаёт семейство прямых, проходящих через точку Если их угловой коэффициент меньше чем у прямой р или больше чем у прямой m (см. рис.), то на промежутке графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой р или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые y = ax − 1 лежат внутри острого угла, образованного прямыми p и m.

Найдём граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.

Для прямой p:

Найдём значение параметра, соответствующее касанию. Имеем:

Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому дискриминант полученного квадратного уравнения должно быть равен нулю:

Итак, касанию соответствует значение параметра

При найденных значениях параметров прямая m пересекается с графиком функции в точках и а прямая р касается графика в точке Заметим, что точка С действительно лежит левее точки В, в силу того, что график выпукл вверх, и что ордината точки С положительна, иначе оказалось бы, что наш рисунок неверен и потребовалось рассмотреть соответствующую конфигурацию.

Тем самым, искомыми значениями параметра являются

Ответ:

Приведём авторское решение.

Рассмотрим функции и Исследуем уравнение на промежутке

При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции  — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает. Функция убывает на промежутке поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, откуда получаем то есть

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнение не имеет корней, при уравнение имеет единственный корень, равный при уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня и то есть то больший корень поэтому он принадлежит промежутку Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда

Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке

— нет корней при

— один корень при и

— два корня при и

— три корня при

Ответ:

Решение. Рассмотрим функции и Исследуем уравнение на промежутке

При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции  — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает. Функция убывает на промежутке поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, откуда получаем то есть

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный 2; при уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня и то есть то больший корень поэтому он принадлежит промежутку Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда

то есть

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :

- нет корней при ;

- один корень при и ;

- два корня при и ;

- три корня при

Ответ:

Решим задачу графически.

При нет решений, так как левая часть неотрицательная, а правая часть меньше −1. Построим графики функций (только положительную часть) и Отметим, что  — это прямые, проходящие через точку (0; −1).

Три решения это уравнение будет иметь, когда прямые будут лежать в промежутке между прямыми m и n. Для n: Для m: Рассмотрим единственную точку касания, т. е. дискриминант должен быть равен нулю: Таким образом,

Ответ:

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений или откуда:

Сравним полученные корни, чтобы понять, какой из них наименьший, а какой наибольший.

Следовательно, x₂ — наибольший корень.

Следовательно, x₃ — наименьший корень.

Осталось решить неравенство

Заметим, что

Поэтому наш ответ — число 17.

Ответ: 17.

Решение. Рассмотрим функцию Её минимальное значение равно 2 и достигается при

Исходное уравнение принимает вид

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда двойное неравенство

имеет решения.

Заметим, что множество значений выражения это при

и при

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при

Ответ:

Решение. Уравнение равносильно уравнениям и Положим Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу либо имеет единственный корень на отрезке равный 0 или 2, либо квадратный трёхчлен принимает при и ненулевые значения разных знаков.

Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при или, что то же самое, при

При таком значении a уравнение имеет единственный корень он принадлежит отрезку 

Рассмотрим второй случай. Имеем и Значит, при При таком значении a уравнение имеет два решения и на отрезке Аналогично при При таком значении a уравнение имеет единственное решение на отрезке

Рассмотрим третий случай. Значения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда  или, что то же самое, при

Следовательно, уравнение имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда или

Ответ:

Решение. Уравнение равносильно уравнениям и Положим Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен имеет единственный корень и этот корень принадлежит интервалу либо имеет единственный корень на отрезке равный −1 или 1, либо квадратный трёхчлен принимает при и ненулевые значения разных знаков.

Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при или, что то же самое, при

При таком значении a уравнение имеет единственный корень он принадлежит отрезку 

Рассмотрим второй случай. Имеем и Значит, при При таком значении a уравнение имеет два решения и на отрезке Аналогично при При таком значении a уравнение имеет единственное решение на отрезке

Рассмотрим третий случай. Значения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда  или, что то же самое, при

Следовательно, уравнение имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда или

Ответ:

Решение. Сделаем замену Получаем:

Следовательно, Дискриминант этого уравнения равен поэтому оно при всех значениях a имеет ровно два различных корня. Положим Так как оба корня уравнения принадлежат промежутку тогда и только тогда, когда и то есть когда и Значит, уравнение имеет ровно два различных корня на промежутке при

Ответ:

Решение. Заметим, что наименьшее значение функции больше −4, если все значения функции больше −4. Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наименьшего значения. Тогда задачу можно переформулировать так: требуется найти все значения a, при каждом из которых неравенство

Запишем неравенство в виде

и построим графики левой и правой частей неравенства и

График функции  — парабола с отраженной отрицательной частью, перемещающаяся по оси абсцисс, с корнями и

График функции  — изображённая на рисунке ломаная (выделена синим цветом).

Для выполнения неравенства (*) необходимо, чтобы все точки графика располагались выше графика Граничные способы подходящего расположения подвижного графика изображены на рисунке зелёным и красным цветом. Определим значения параметра для этих границ.

Левую границу найдём из условия касания прямой, задаваемой уравнением и параболы, задаваемой уравнением Они имеют единственную общую точку, а значит, уравнение имеет единственное решение. Запишем его в виде и найдем дискриминант полученного уравнения:

Он обращается в нуль при

Правая граница достигается, если больший корень функции равен 4: откуда

Таким образом, неравенство (*) выполняется при всех значениях x, если

Ответ:

Примечание.

По просьбе Сергея Волкова покажем, как определить, не пользуясь рисунком, какое условие надо рассматривать для определения границы расположения подвижного графика: условие касания параболы и прямой или условие прохождения прямой через корень параболы.

Парабола задается уравнением Заметим, что причем и производная возрастает на всей числовой оси. Для касания параболы и прямой необходимо, чтобы угловой коэффициент касательной был равен значению производной. Следовательно, если угловой коэффициент прямой меньше −2, то для определения граничного условия надо рассматривать касание прямой и левой ветви параболы. Если угловой коэффициент прямой больше 2, то необходимо рассматривать касание прямой и правой ветви параболы. Если же угловой коэффициент прямой находится в пределах от −2 до 2, то касание прямой и параболы будет в точке, расположенной на отрицательной части параболы, но эта часть симметрично отображена относительно оси абсцисс, следовательно, необходимо рассматривать условие прохождения прямой через корень параболы.

Решение. В системе координат хOa изобразим окружность, задаваемую уравнением все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставляя в уравнение и решая полученное уравнение, найдем точки пересечения окружности и параболы: и  — точка касания. Для найденных точек числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.

Следовательно, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда

Ответ:

Приведем решение Тофига Алиева.

Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если числитель имеет два различных корня, а знаменатель не равен 0. Числитель имеет два различных корня, если дискриминант положителен:

Исключим значения параметра а, при которых знаменатель обращается в 0. Подставив в числитель получим

Следовательно, числитель и знаменатель одновременно обращаются в ноль при x = 0, x = −1 и x = 2 при условии или a = 0, a = 1 и a = 4, и эти значения параметра а должны быть исключены.

Итак, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда

Решение. В системе координат хOa изобразим ломаную, задаваемую уравнением все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу точки которой соответствуют нулям знаменателя.

Подставляя в уравнение и решая полученное уравнение на x, найдем абсциссы точки пересечения ломаной и параболы:

Ординаты точек пересечения суть 0, 6, 2 и 12 соответственно. Для найденных значений параметра числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.

Следовательно, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда

Ответ:

Решение. Заметим, что

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения Получаем или

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения Получаем или

Ровно два решения исходное уравнение имеет при

Ответ:

Решение. Запишем выражение в виде

Для того чтобы данная система имела два различных решения, нужно чтобы числа и были различны, а также ни одно из них не равнялось

Все остальные значения параметра подходят.

Ответ:

Решение. Заметим, что

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения парабол и найдём из уравнения

Получаем или или

Вершина параболы в точке

Ровно два решения исходное уравнение имеет при

Ответ:

Решение. Заметим, что

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения Получаем или

Ординаты точек пересечения параболы и прямой найдём из уравнения Получаем или

Ровно два решения исходное уравнение имеет при

Ответ:

Решение. Если то уравнение решений не имеет.

Пусть a = −5. Тогда уравнение имеет вид и ни одно число из отрезка [3, 5] не является его решением.

Пусть a > −5. Запишем уравнение в виде

При a > −5 верно неравенство и поэтому решением уравнения является любое число из отрезка поскольку длина этого отрезка равна и уравнению удовлетворяют те и только те точки х, сумма расстояний от каждой из которых до точек и равна

Осталось выбрать те значения а, при каждом из которых отрезок содержит отрезок [3, 5]. Это выполнено тогда и только тогда, когда

Ответ:

Решение. Выполним преобразования:

Тем самым если то исходное уравнение не имеет решений. Действительно, корень первого уравнения совокупности не удовлетворяет ОДЗ второго уравнения совокупности, а само второе уравнение не имеет решений, поскольку при условии его левая часть положительна, а правая — отрицательна.

Пусть далее рассмотрим второе уравнение совокупности. Изобразим на координатной плоскости построим графики функций и Первый график — прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через начало координат. Второй график является графиком функции сдвинутым вдоль оси абсцисс на a единиц. Из графика видим, что на отрезке [0; 1] уравнение имеет решение 0 при и не имеет решений ни при каких иных значениях параметра. Таким образом, при исходное уравнение имеет два решения — числа 0 и 1. При

уравнение имеет единственное решение.

Ответ:

Решение. Запишем уравнение в виде

и сделаем замены и Тогда уравнение примет вид

Заметим, что Значит, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, если уравнение (⁎) имеет хотя бы одно решение на отрезке

Построим график уравнения (⁎) на отрезке в системе координат tOb (см. рис. выше). Уравнение (⁎) имеет корни на отрезке при Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при

Решим это двойное неравенство:

Изложим это решение иначе.

Пусть (⁎), тогда исходное уравнение можно записать в виде или

Оценим левые части уравнений (⁎) и (⁎⁎).

В силу цепочки соотношений

графиком уравнения (⁎) является полуокружность с центром в точке O(2; 0) и радиусом 2. Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда (см. рис.).

При найденных значениях t справедливы оценки

Чтобы уравнение (⁎⁎) имело решения его правая часть должна лежать в тех же границах:

откуда

Ответ:

Решение. Приравняем правые части уравнений исходной системы:

Полученное уравнение является квадратным относительно переменной x. Найдем одну четвертую дискриминанта:

Дискриминант неотрицателен только при а значит, единственным корнем уравнения является Тогда исходная система или имеет единственное решение или не имеет решений.

Из первого уравнения исходной системы найдём значение a, при котором у системы есть решение:

Ответ:

Решение. Преобразуем уравнение:

Выясним, при каких значениях a корнем исходного уравнения является

Значит, является корнем уравнения при любых значениях a.

Выясним, при каких значениях a корнем исходного уравнения является

Выясним, при каких значениях a корни и совпадают:

Значит, исходное уравнение имеет два различных корня при или один корень при

Ответ:

Решение. Подставим y из второго уравнения в первое, получим уравнение

Система будет иметь единственное решение, если полученное уравнение будет иметь ровно один корень. Найдём соответствующие значения параметра.

Если старший коэффициент уравнения (*) равен нулю, то его степень не больше 1, поэтому оно может иметь единственное решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений. Из уравнения находим или Эти значения приводят к уравнениям и соответственно, имеющим единственное решение.

При прочих а уравнение (*) является квадратным и имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

откуда

Ответ: 2, 3.

Решение. Запишем функцию в виде Если при некоторых значениях а существуют такие числа x₀, x₁, что выполняются равенства и то отрезок [0; 1] будет принадлежать множеству значений данной функции.

Первое уравнение:

Уравнение имеет решение при любом

Второе уравнение:

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

Решением этого неравенства является множество

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только все значения

Ответ:

Решение. Сделаем замену и найдём корни уравнения

по теореме, обратной теореме Виета:

Заметим, что если то каждому такому t соответствует два корня исходного уравнения, если же или то такому t будет соответствовать один корень исходного уравнения. Прочим t не соответствует ни одного корня.

В системе координат aOt графиком уравнения (*) является объединение прямой и параболы Заметим, что прямая является касательной к параболе в точке (это следует из того, что уравнение имеет единственное решение).

Требуется найти такие a, при которых уравнение имеет ровно один корень на и при этом не имеет корней на Это выполняется при Найдём значения

Значение является меньшим корнем уравнения получаем: Значение является корнем уравнения получаем: Значение является корнем уравнения получаем:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на промежутке при

Ответ:

Решение. Система имеет имеет смысл при На ОДЗ преобразуем второе уравнение системы:

Решим систему графически. В системе координат xOy графиком первого уравнения является пучок прямых, проходящих через точку (см. рис., выделено синим, зеленым, красным). Графиком второго уравнения системы является правая ветвь гиперболы с выколотыми точками и (на рисунке изображено черным цветом). В зависимости от значения параметра a прямая и гипербола могут не иметь общих точек или иметь одну или две общие точки.

При прямая изображенная на на рисунке зелёным цветом, проходит через выколотые точки гиперболы: точки и При прямая на рисунке изображенная красным цветом, является асимптотой гиперболы. Значит, система не имеет решений при или где  — значение параметра, при котором прямая касается гиперболы (на рисунке изображено синим цветом).

Прямая и гипербола имеют общие точки, если имеет решение уравнение

Прямая касается гиперболы, если дискриминант этого уравнения равен нулю. Тогда

Следовательно, система не имеет решений при или

Ответ:

Примечание.

Дополнительно отметим, что при или система имеет два решения, а при или  — одно решение.

Решение. Заметим, что и сделаем замену где Тогда уравнение примет вид

Введём функцию тогда уравнение примет вид Функция является возрастающей, поэтому полученное уравнение равносильно уравнению Тем самым задача свелась к нахождению параметра a, при котором уравнение имеет хотя бы один корень Выполним преобразования:

Изобразим решение полученной системы графически. Графиком уравнения системы является парабола с вершиной в точке Следовательно, система имеет решения при то есть при

Ответ:

Решение. Преобразуем уравнение, используя формулы сокращённого умножения:

Изобразим решение полученной системы на плоскости xOa. Графиком системы (изображено синим) будет совокупность двух прямых исключая точки, которые лежат на прямых а именно: точки

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

Ответ:

Решение. Преобразуем уравнение, используя формулы сокращённого умножения:

Изобразим решение полученной системы на плоскости xOa. Графиком системы (изображено синим) будет совокупность двух прямых исключая точки, которые лежат на прямых а именно: точки

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

Ответ:

Решение. Пусть тогда

Таким образом, требуется найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение на промежутке

Изобразим эскиз графика  — параболу с ветвями вверх и вершиной Заметим, что откуда

Следовательно, уравнение имеет единственное решение на промежутке при или при

Ответ:

Решение. Уравнение определено на множестве Пусть тогда, чтобы исходное уравнение имело два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы уравнение

имело ровно одно решение при Рассмотрим два случая раскрытия модуля.

1 случай. Если то имеем:

Построим эскизы графиков левой и правой частей полученного уравнения в системе координат График левой части — дуга эллипса, при вырождающаяся в отрезок. График правой части — гипербола. Уравнение имеет одно решение при и не имеет решений при где  — значение параметра, при котором график функции проходит через точку Найдём значение

2 случай. Если то имеем:

Построим эскизы графиков левой и правой частей уравнения в системе координат График левой части — дуга эллипса, при вырождающаяся в отрезок. График правой части — гипербола. Уравнение не имеет решений при имеет одно решение при или имеет два решения при где  — значение параметра, при котором график функции проходит через точку а  — положительное значение параметра, при котором график функции касается гиперболы Найдём значение

Касание соответствует единственному положительному корню, что возможно при С учётом условия получаем, что

Объединяя два случая, получаем, что для уравнение (⁎) при имеет при одно решение, при  — два решения, при  — три решения, при  — два решения, при  — одно решение.

Ответ:

Решение. Построим график функции преобразованиями графиков функций и Заметим, что

Значит, график функции  — гипербола, асимптотами которой являются прямые и Гипербола пересекает координатные оси в точках и Она изображена на рисунке справа.

График функции симметричен относительно оси Oy и при совпадает с графиком функции на рисунке ниже изображён зеленым. График функции получается из графика функции отражением нижней части графика относительно оси Ox, на рисунке ниже изображён красным.

Из построенного графика видно, что уравнение имеет ровно четыре корня при или Таким образом, наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно четыре корня, равно 4.

Ответ: 4.

Решение. Сделаем замену Рассмотрим уравнение Построим эскиз графика Функция обладает свойством: при всех x, причём

Следовательно, если уравнение имеет два таких решения, что одно равно 4, а второе принадлежит интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно семь решений. Если же оба корня исследуемого уравнения принадлежат интервалу (0; 4), то исходное уравнение имеет ровно восемь решений.

Заметим, что это уравнение имеет два решения: при любом значении а. При эти решения совпадают. Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда

Ответ:

Решение. При уравнение принимает вид и имеет бесконечно много решений.

При выражения и  — имеют смысл при При таких значениях a и x имеем Значит, в этом случае уравнение равносильно уравнениям

Пусть и Тогда функция определена при непрерывна и строго возрастает на своей области определения. Следовательно, область значений функции равна причём каждое своё значение функция принимает по одному разу. Значит, уравнение и равносильное ему исходное уравнение имеют единственное решение при то есть при и

Ответ:

Решение. Уравнение

равносильно уравнению

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй имеет смысл. Уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; 3]. Выражение имеет смысл при Уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; 3] при Выражение имеет смысл при всех значениях x. Решения и уравнения

совпадают при

Таким образом, поскольку при исходное уравнение не имеет решений на заданном отрезке, при имеет решение при имеет решение и при эти два решения совпадают. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; 3] при тех a, меньших которые не лежат на отрезке [−1; 2], а также при то есть при и

Ответ:

Решение. Положив где и разделив числитель и знаменатель левой части уравнения на получаем уравнение При имеем:

Рассмотрим функцию при Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины этой параболы равна 0,5, значит, функция будет иметь корни на промежутке (0; 1] тогда и только тогда, когда выполняются два условия и (см. рис.). Окончательно получаем:

откуда

Ответ:

Решение. Заметим, что при решений нет, поскольку левая часть уравнения принимает только положительные значения. Построим схематично графики левой и правой частей уравнения при положительных а. Уравнение имеет ровно три положительных решения, если ветви модуля будут пересекать параболу ровно в трех точках с положительными абсциссами. Из графиков ясно, что правая ветвь графика модуля должна пересекать параболу в двух точках, а левая ровно в одной точке с положительной абсциссой.

Обозначим A(0; 64) точку пересечения параболы с осью ординат. Найдем, при каких параметра график модуля пройдет через эту точку:

Найдем координаты точки касания B левой ветви модуля и левой ветви параболы. Для этого приравняем ординаты точки пересечения и определим, при каких значениях параметра полученное уравнение имеет единственное решение:

причем подходит только положительный корень.

При найденном значении параметра

а значит, абсцисса точки касания положительна. Таким образом, точка В лежит в первой четверти и расположена ниже точки A. Это позволяет уточнить первоначальный график функции и прийти к следующим выводам:

− при уравнение имеет ровно три положительных решения,

− при  — четыре положительных решения,

− при три положительных решения и нуль,

− при три положительных решения и одно отрицательное.

Искомыми являются и

Ответ:

Решение. Преобразуем исходное выражение:

Заметим. что если корень уравнения, то и  — тоже корень. Тогда, если уравнение имеет единственный корень, то это Следовательно,

В тоже время это условие является и достаточным, так как и равенство достигается при а

и равенство достигается при

Ответ:

Решение. При линии параллельны и многоугольник не образуют. Пусть Тогда линии и ограничивают треугольник (см. рис.), если ордината вершины модуля ниже горизонтальной прямой, то есть если откуда a < 4,5. Абсциссы точек пересечения линий даются уравнением

Поэтому площадь треугольника равна

Эта площадь не должна быть меньше откуда получаем:

С учетом условия получим:

Пусть Линии и ограничивают треугольник (см. рис.) при то есть при Абсциссы точек пересечения линий даются уравнением

Поэтому площадь полученного треугольника равна

Эта площадь должна быть не меньше откуда получаем:

С учетом условия получим

Ответ:

Решение. Преобразуем второе уравнение следующим образом:

Следовательно, решениями системы являются пары вида и а потому система имеет четыре различных решения, если ее первое уравнение имеет два различных решения при и имеет два различных решения при Причем пара решений входит в оба случая, а потому соответствующее значение параметра необходимо исключить. Найдем его, подставив решение в первое уравнение исходной системы:

Подставим в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной y виду. Получим:

При полученное уравнение решений не имеет, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:

Уравнение имеет два различных корня если его дискриминант положителен, то есть при или при

Подставим в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной x виду. Получим:

При полученное уравнение является линейным и не может иметь двух корней, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:

Найдем нули дискриминанта:

Следовательно, уравнение имеет два различных корня если или

Таким образом, система имеет четыре решения при выполнении следующих условий:

Ответ:

Решение. Решим второе уравнение из системы:

Следовательно, решениями системы являются пары вида и а потому система имеет четыре различных решения, если ее первое уравнение имеет два различных решения при и имеет два различных решения при Причем пара решений входит в оба случая, а потому соответствующее значение параметра необходимо исключить. Найдем его, подставив пару чисел в первое уравнение исходной системы:

значит пара чисел не являются решением системы ни при каком значении a.

Подставим в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной y виду. Получим:

При полученное уравнение будет линейным и не сможет иметь ровно два корня, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:

Уравнение имеет два различных корня если его дискриминант положителен, то есть при или при

Подставим в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной x виду. Получим:

При полученное уравнение решений не имеет, при прочих значениях параметра найдем дискриминант:

Найдем нули дискриминанта:

Следовательно, уравнение имеет два различных корня при или при

Таким образом, система имеет четыре решения при выполнении следующих условий:

Ответ:

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Второй случай: при условии Получаем:

То есть в этом случае x = −2a при

Корень уравнения x = −2a принадлежит отрезку [0; 1] при Корни уравнения и совпадают при

Получаем, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при

Ответ:

Решение. Преобразуем уравнение:

В системе координат xOy графиком левой части уравнений полученной совокупности является парабола c направленными вверх ветвями и вершиной в точке Совокупностью графиков правых частей уравнений при условии является изображённый на рисунке четырехугольник (выделен синим). Три решения возможны если одна из ветвей параболы имеет одну общую точку с ломаной, а вторая ветвь — две.

Заметим, что случаи касания параболы и ломаной невозможны, так как для функции вида при модуль производной больше 8. Значит, возможны только два случая

откуда или

Ответ:

Решение. Преобразуем уравнение:

Заметим, что уравнение при имеет один корень на интервале а при  — два корня на этом интервале. Тогда исходное уравнение имеет ровно два корня на интервале в двух случаях: или

или

Объединяя полученные значения, получаем ответ.

Ответ:

Решение. Рассмотрим функцию раскроем модули:

Данная кусочно-линейная функция при возрастает на и убывает на . А при возрастает на и убывает на . Отдельно проверим, что при функция принимает лишь отрицательные значения.

Следовательно, функция f имеет по одному нулю на каждом из двух промежутков возрастания и убывания тогда и только тогда, когда наибольшее значение функции положительно. то есть при или :

Ответ:

Решение. Запишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей. Из графиков, учитывая, что несовпадающие прямые имеют не более одной общей точки, получим следующее.

При a = 0 нет решений, т. к. левая часть равна 0, а правая не больше −2.

При два решения есть тогда и только тогда, когда точка A лежит ниже точки B:, то есть при

При два решения есть тогда и только тогда, когда точка C лежит ниже точки D: , то есть при

Приведем аналитическое решение.

Раскроем модуль при получим

Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке: то есть

При имеем:

полученное уравнение не имеет решений при при имеет единственное решение Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке:

При имеем:

Найденное решение должно лежать в рассматриваемом промежутке, поэтому то есть

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных решения или

Ответ: или

Приведём решение Елизаветы Зелененькой (Москва).

Решим задачу графическим методом в координатах (x; a). Прямые x + 1 = 0 и x − 1 = 0 разбивают координатную плоскость три области, в каждой из которых модули раскрываются согласно приведенной ниже таблице.

Выражение	1 область	2 область	3 область
x + 1	−	+	+
x − 1	−	−	+

Найдем вид уравнения в каждой из областей. В первой первой области:

это уравнение прямой с коэффициентом наклона k = −0,5. Во второй области:

Полученное уравнение задает гиперболу, вертикальной асимптотой которой является ось ординат. В третьей области:

это уравнение прямой с коэффициентом наклона k = −0,5. Построим график уравнения (см. рис.), отметим, что гипербола пересекает прямые в точках (−1; 2) и (1; −1).

Исходное уравнение имеет два решения тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая пересекает график в двух точках, то есть лежит выше точки пересечения гиперболы с первой прямой либо ниже точки пересечения гиперболы со второй прямой. Таким образом, или при

Решение. При a = 0 уравнение принимает вид и имеет единственное решение. При a < 0 уравнение не имеет решений, так как оно имеет смысл при и при всех таких x выполнены неравенства

При a > 0 уравнение имеет смысл при и равносильно на этом промежутке уравнениям и При это уравнение не имеет решений на промежутке так как для всех x из этого промежутка выполнены неравенства При это уравнение имеет единственное решение принадлежащее промежутку так как

Отсюда получаем, что исходное уравнение имеет единственное решение при a = 0 или a > 2.

Ответ:

Решение. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

Числа и не является решениями полученной системы ни при каких значениях параметра, поэтому на выражения в скобках можно разделить без потери равносильности. Получаем:

Найдем х, при которых выполнено соотношение (⁎), для этого решим уравнение:

Итак,

При найденных х построим эскиз графика функции в системе координат xOa. Найдем производную и определим ее знаки:

При неограниченном увеличении аргумента х значения функции неограниченно уменьшаются, а при неограниченном уменьшении х значения функции неограниченно возрастают. Прямые являются вертикальными асимптотами. Вычислим значения функции в критических точках:

Вычислим значения в точках и исключим эти точки на графике:

Из эскиза графика находим, что исходное уравнение

— при имеет три различных корня;

— при имеет два различных корня;

— при имеет три различных корня;

— при имеет два различных корня;

— при имеет один корень;

— при не имеет корней;

— при имеет один корень;

— при не имеет корней;

— при имеет один корень;

— при не имеет корней;

— при имеет один корень;

— при имеет два различных корня;

— при имеет три различных корня;

— при имеет два различных корня;

— при имеет три различных корня.

Ответ:

Примечание.

Внимательный читатель заметит на графике наклонную асимптоту, о которой ничего не сказано в решении. Действительно, график функции имеет наклонную асимптоту, ее уравнение можно найти явно, но что-либо знать об этой асимптоте для решения данной задачи не нужно.

Решение. Преобразуем уравнение:

Построим графики левой и правой части уравнения. График левой части уравнения, с учётом ограничения  — отрезок прямой График правой части  — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке На рисунке представлены граничные ситуации:  — парабола касающаяся прямой (выделена оранжевым),  — парабола, правая ветвь которой проходит через точку (выделена зелёным) и  — парабола, левая ветвь которой проходит через точку (выделена красным).

Уравнение не имеет корней при имеет один корень при имеет два корня при имеет один корень при и не имеет корней при

Значение p₁ найдём, приравняв дискриминант квадратного уравнения нулю.

Значения p₂ и p₃ найдём, подставив в координаты точки

Таким образом, уравнение имеет единственный корень при или

Ответ:

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:

В системе координат xOa построим графики двух квадратичных функций, которые пересекаются в точках и По графику получаем, что уравнение имеет

— при два корня;

— при три корня;

— при четыре корня;

— при три корня;

— при четыре корня;

— при три корня;

— при четыре корня;

— при три корня;

— при два корня.

Таким образом, уравнение имеет не более трёх корней при и

Ответ:

Решение. При положительных и отличных от единицы значениях p правая часть уравнения равна 1. Поэтому уравнение равносильно системам:

Изобразим решение полученной системы в осях xOa. Решением являются отрезки прямых и (выделены синим), расположенные внутри окружности справа от прямой (выделено зелёным), за исключением точек, принадлежащих окружности (выделено красным).

Найдём координаты точек A, B, C, D, E, F, G и координату точки пересечения прямых и Получаем: Прямые и пересекаются в точке с координатами

По графику определяем, что система имеет единственный корень при и

(Заметим дополнительно, что при и при система решений не имеет, в остальных случаях система имеет два решения.)

Ответ:

Решение. Преобразуем уравнение, раскрыв модуль:

Построим график полученной совокупности в осях xOa. График первой системы представляет собой части параболы лежащие не выше прямой График второй системы представляет собой части параболы лежащие выше прямой

При построенный график имеет четыре точки пересечения с горизонтальной прямой, при и при  — три точки, при остальных значениях a — две точки. Значит, исходное уравнение имеет четыре корня при

Ответ:

Решение. Преобразуем уравнение

Построим графики левой и правой частей полученного уравнения. График функции получается из графика смещением на 2a вправо (при отрицательных значениях a — влево). График функции получается из графика смещением на 2 вверх и на 2a влево (при отрицательных значениях a — вправо). Уравнение будет иметь решения тогда и только тогда, когда графики левой и правой частей имеет общие точки. Изобразим граничные случаи.

При отрицательных значениях параметра a, решения будут, если вершина графика координаты которой находится не ниже графика Найдём значения параметра, подставив координаты этой точки в

При неотрицательных значениях параметра a, решения будут, если вершина графика координаты которой находится не выше графика Найдём значения параметра, подставив координаты этой точки в

Таким образом, уравнение имеет хотя бы одно решение при

Ответ:

Решение. Левая часть уравнения имеет смысл при Выделим в левой части полный квадрат:

откуда следует, что

Равенство возможно, только если обе части равны нулю, откуда следует, что x = −1 или a = 0.

1. Пусть x = −1. Получается уравнение которое имеет единственное решение a = −1. Следовательно, при a = −1 уравнение имеет решение x = −1.

2. Если то a = 0. Получаем уравнение x² = 0, которое имеет решение x = 0.

Ответ: a = −1 или a = 0.

Решение. Пусть при a > 0, t > 0. Запишем уравнение в виде

Введём квадратичную функцию

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины равна Уравнение имеет хотя бы одно решение, если его дискриминант D ⩾ 0. Имеем:

Решая полученное неравенство, при условиях a > 0 и a ≠ 4, получим

При данных значениях a корни уравнения положительны, так как их сумма положительна и равна а произведение равно 1.

Ответ:

Решение. Заметим, что расстояние между точками и равно Тогда величина выражает расстояние между точкой и точкой где а выражает расстояние между точкой и точкой Заметим, что в силу равенства координат точка T лежит на прямой Точка M — ниже прямой а точка N — выше этой прямой.