Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Расстояние от точки до прямой и до плоскости
1.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.

а) Докажите, что BD_1\perp AC.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой BD1.

2.

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно  корень из (43) , высота равна  корень из (31) .

а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середины ребер BD, AC и AD, является прямоугольником.

 

б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой MT, где точки M и T — середины ребер AC и AD соответственно.

3.

В правильной шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки C до прямой F1E1.

4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.

5.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 1, а ребро основания равно 2. Найдите расстояние от точки A1 до прямой BC1.

6.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BT, где T — середина ребра AD.

7.

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC_1 до плоскости AB_1D_1.

8.

Длины ребер AB, AA_1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 равны соответственно 12,16 и 15. Найдите расстояние от вершины A_1 до прямой BD_1.

9.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.

а) Докажите, что расстояние от точки C до плоскости ADD_1 меньше, чем расстояние от точки C до прямой AD_1.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой AD1

10.

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, у которого AB = 10, BD = 12. Высота призмы равна 6.

а) Докажите, что прямые A_1C и BD перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от центра грани A1B1C1D1 до плоскости BDC1.

11.

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 6. Высота призмы равна 3.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки A, A_1 и середину ребра B_1C_1, перпендикулярна плоскости A_1BC.

б) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до плоскости BCA1.

12.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 корень из 2 . Точки М и Т — середины ребер AD и A1B1 соответственно.

а) Докажите, что A_1C_1\perp MT.

б) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой МТ,

13.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1, T — середина ребра AD.

а) Докажите, что объем пирамиды AA_1TB в 12 раз меньше объема куба.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BT, где T — середина ребра AD.

14.

Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 1.

а) Докажите, что точки B и C_1 равноудалены от плоскости ACD_1.

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.

15.

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной 2 корень из (10) , высота призмы равна 2 корень из (5) .

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью BCM, где M — середина ребра A1C1, является прямоугольной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости BCM, где M — середина ребра A1C1.

16.

Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL1M1N1 равно её высоте и равно 2 корень из 5 .

а) Докажите, что сечение призмы, проходящее через L, M_1 и точку T — середину ребра L_1N_1, является прямоугольным треугольником.

б) Найдите расстояние от точки L1 до плоскости LM1T.

17.

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна 6 корень из (3) , а угол ACB равен 120°.

а) Докажите, что AB_1 больше AC_1.

б) Найдите расстояние от точки A до прямой B1C1, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

18.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.

а) Докажите, что прямые SE и AC перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.

19.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.

а) Докажите, что прямые SC и AE перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SF.

20.

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD — точку E.

а) Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD.

б) Найдите расстояние от точки A до прямой BE.

21.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, сторона основания равна 1, а боковое ребро равно  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби .

а) Докажите, что прямые AS и BD перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.

22.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона основания равна 1.

а) Докажите, что точки A_1 и B равноудалены от плоскости AB_1C_1.

б) Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.

23.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 1, а ребро основания равно 2.

а) Докажите, что точки A и B_1 равноудалены от плоскости A_1BC_1.

б) Найдите расстояние от точки A1 до прямой BC1.

24.

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, AC=10 корень из (3) . Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30° с плоскостью AA1B1.

а) CE − высота треугольника ABC. Докажите, что угол B_1EC − прямой.

б) Найдите высоту призмы.

25.

Основанием прямой призмы MNKM1N1K1 является прямоугольный треугольник MNK, у которого угол N равен 90°, угол M равен 60°, NK = 18. Диагональ боковой грани M1N составляют угол 30° с плоскостью MM1K1.

а) NE − высота треугольника NKM. Докажите, что \angle NM_1E=30 градусов

б) Найдите высоту призмы.

26.

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1.

а) Докажите, что AC_1\perp BE.

б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

27.

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1.

а) Докажите, что расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1 равно расстоянию середины отрезка BC1 до прямой, проходящей через середину отрезка AD_1 и вершину B_1.

б) Найдите это расстояние.

28.

Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC . Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Радиус основания конуса равен 1.

а) Докажите, что треугольник ADP, где AD||BC и AD − хорда основания, является искомым сечением.

б) Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения.

29.

Отрезок KM ― диаметр основания конуса, отрезок AK ― образующая этого конуса, которая в 3 раза больше радиуса его основания. Хорда основания ML составляет с прямой KM угол 45°. Через AK проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой ML.

а) Докажите, что треугольник AKN, где KN - хорда основания, параллельная ML, является искомым сечением.

б) Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

30.

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA= корень из (5) , сторона основания равна 2.

а) Докажите, что точки B и S равноудалены от плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM.

31.

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA= корень из (5) , сторона основания равна 2.

а) Докажите, что точки B и S равноудалены от плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости ADM.

32.

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5 корень из (2) . Тангенс угла между прямыми DM и AL равен  корень из (2) , L — середина ребра MB.

а) Докажите, что плоскости AOL и MDB перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды.

33.

Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15.

а) Докажите, что расстояние от вершины D_1 до прямой A_1B больше, чем расстояние от вершины A1 до прямой BD1

б) Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.

34.

Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 8, 12 и 9.

а) Докажите, что расстояние от вершины A_1 до прямой D_1C больше, чем расстояние от вершины D_1 до прямой A_1C.

б) Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C.

35.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6.

а) Докажите, что AS\perp BC.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

36.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.

а) Докажите, что плоскости DEA_1 и BDD_1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA1.

37.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4.

а) Докажите, что плоскости CD_1E_1 и AEE_1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки С до прямой D1E1.

38.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра равны 1.

а) Докажите, что прямая BF_1 перпендикулярна прямой F_1E_1.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой E1F1.

39.

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна  корень из (6) , высота равна  корень из (30) .

а) Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового ребра BD и точки М и Т (середины ребер АС и соответственно), является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ.

40.

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно корень из (6) , высота —  корень из (33) .

а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середину ребра AD и точки M и T — середины ребер CS и ВС соответственно, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой MT.

41.

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна 4 корень из (3) а угол ВАD равен 60°.

а) Докажите, что прямые AC_1 и BD перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки А до прямой C1D1, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

42.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 2.

а) Докажите, что высоты пирамиды, проведенные из вершин A и S, пересекаются в одной точке.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

43.

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1.

а) Докажите, что прямая B_1D перпендикулярна плоскости ACD_1.

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.

44.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 высота равна 1, а сторона основания равна  корень из (2) . Точка M — середина ребра AA1.

а) Докажите, что пирамиды MDD_1C_1 и ACDD_1 равновелики.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

45.

В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, AD=BC, \angle DAC= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , \angle ACD= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , угол между ребром DC и гранью ABC равен  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

а) Докажите, что середина ребра AB равноудалена от плоскости ACD и плоскости BCD.

б) Найдите угол между ребром AB и гранью ACD.

46.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 1, высота SO = 2, точка M — середина ребра BS.

а) Докажите, что AM параллельна FN, где N — середина ребра SE.

б) Найдите расстояние от точки E до прямой AM.

47.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка N — середина отрезка АС.

а) Докажите, что плоскость NA1D делит сторону АВ основания призмы в отношении 2 : 1.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости NA1D .

48.

В правильной четырехугольной пирамиде плоскость α, проведенная через сторону основания, делит двухгранный угол при основании пирамиды и боковую поверхность пирамиды пополам.

а) Докажите, что двухгранный угол при основании пирамиды равен 45°.

б)  Найдите расстояние от плоскости α до вершины пирамиды, если сторона основания пирамиды равна 1.

49.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Точка Р — середина ВС, на ребре AS отмечена точка N, причем PN перпендикулярна AS.

а) Доказать, что  синус \angle ASO= дробь: числитель: NO, знаменатель: PS конец дроби .

б)  Найдите расстояние от точки О до плоскости SBC, если AB=12 корень из (3) ,  синус \angle ASO= дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из (13) конец дроби .