№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Расстояние от точки до прямой и до плоскости
1.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние от точки C до прямой BD1.

2.

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно высота равна

а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середины ребер BD, AC и AD, является прямоугольником.

 

б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой MT, где точки M и T — середины ребер AC и AD соответственно.

3.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.

а) Докажите, что расстояние от точки до плоскости меньше, чем расстояние от точки до прямой .

б) Найдите расстояние от точки C до прямой AD1

4.

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, у которого AB = 10, BD = 12. Высота призмы равна 6.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от центра грани A1B1C1D1 до плоскости BDC1.

5.

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 6. Высота призмы равна 3.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки , и середину ребра , перпендикулярна плоскости .

б) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до плоскости BCA1.

6.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром Точки М и Т — середины ребер AD и A1B1 соответственно.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой МТ,

7.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1, T — середина ребра AD.

а) Докажите, что объем пирамиды в 12 раз меньше объема куба.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BT, где T — середина ребра AD.

8.

Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 1.

а) Докажите, что точки и равноудалены от плоскости .

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.

9.

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной высота призмы равна

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью BCM, где M — середина ребра A1C1, является прямоугольной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости BCM, где M — середина ребра A1C1.

10.

Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL1M1N1 равно её высоте и равно

а) Докажите, что сечение призмы, проходящее через и точку — середину ребра, является прямоугольным треугольником.

б) Найдите расстояние от точки L1 до плоскости LM1T.

11.

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна а угол ACB равен 120°.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние от точки A до прямой B1C1, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

12.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.

13.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SF.

14.

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD — точку E.

а) Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD.

б) Найдите расстояние от точки A до прямой BE.

15.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, сторона основания равна 1, а боковое ребро равно

а) Докажите, что прямые AS и BD перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.

16.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона основания равна 1.

а) Докажите, что плоскости и B равноудалены от плоскости .

б) Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.

17.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 1, а ребро основания равно 2.

а) Докажите, что точки A и равноудалены от плоскости .

б) Найдите расстояние от точки A1 до прямой BC1.

18.

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30° с плоскостью AA1B1.

а) − высота треугольника . Докажите, что угол − прямой.

б) Найдите высоту призмы.

19.

Основанием прямой призмы MNKM1N1K1 является прямоугольный треугольник MNK, у которого угол N равен 90°, угол M равен 60°, NK = 18. Диагональ боковой грани M1N составляют угол 30° с плоскостью MM1K1.

а) − высота треугольника . Докажите, что

б) Найдите высоту призмы.

20.

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1.

а) Докажите, что .

б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

21.

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1.

а) Докажите, что расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1 равно расстоянию середины отрезка BC1 до прямой, проходящей через середину отрезка и вершину .

б) Найдите это расстояние.

22.

Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC . Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Радиус основания конуса равен 1.

а) Докажите, что треугольник , где и AD − хорда основания, является искомым сечением.

б) Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения.

23.

Отрезок KM ― диаметр основания конуса, отрезок AK ― образующая этого конуса, которая в 3 раза больше радиуса его основания. Хорда основания ML составляет с прямой KM угол 45°. Через AK проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой ML.

а) Докажите, что треугольник AKN, где KN - хорда основания, параллельная ML, является искомым сечением.

б) Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

24.

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро сторона основания равна 2.

а) Докажите, что точки B и S равноудалены от плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM.

25.

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро сторона основания равна 2.

а) Докажите, что точки B и S равноудалены от плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости ADM.

26.

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны Тангенс угла между прямыми DM и AL равен , L — середина ребра MB.

а) Докажите, что плоскости AOL и MDB перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды.

27.

Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15.

а) Докажите, что расстояние от вершины до прямой больше, чем расстояние от вершины A1 до прямой BD1

б) Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.

28.

Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 8, 12 и 9.

а) Докажите, что расстояние от вершины до прямой больше, чем расстояние от вершины до прямой .

б) Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C.

29.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

30.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.

а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA1.

31.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4.

а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки С до прямой D1E1.

32.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра равны 1.

а) Докажите, что прямая перпендикулярна прямой .

б) Найдите расстояние от точки B до прямой E1F1.

33.

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна , высота равна

а) Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового ребра и точки М и Т (середины ребер АС и соответственно), является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ.

34.

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно высота —

а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середину ребра AD и точки M и T — середины ребер CS и ВС соответственно, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой MT.

35.

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна а угол ВАD равен 60°.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки А до прямой C1D1, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

36.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 2.

а) Докажите, что высоты пирамиды, проведенные из вершин A и S, пересекаются в одной точке.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

37.

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1.

а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .

б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости ACD1.

38.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 высота равна 1, а сторона основания равна Точка M — середина ребра AA1.

а) Докажите, что пирамиды и равновелики.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

39.

В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, угол между ребром DC и гранью ABC равен

а) Докажите, что середина ребра AB равноудалена от плоскости ACD и плоскости BCD.

б) Найдите угол между ребром AB и гранью ACD.

40.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 1, высота SO = 2, точка M — середина ребра BS.

а) Докажите, что AM параллельна FN, где N — середина ребра SE.

б) Найдите расстояние от точки E до прямой AM.