а) Проекция на плоскость — это прямая . (диагонали квадрата), поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Проведем отрезок CD₁ и опустим перпендикуляр CH на BD₁.

Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD₁ с прямым углом C:

Ответ:

а) Пусть — середина ребра — середина ребра По теореме о средней линии треугольника , следовательно, точки лежат в одной плоскости. следовательно, — параллелограмм. Кроме того, а по теореме о трёх перпендикулярах (так как ), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник.

б) По доказанному в пункте а), искомое расстояние есть длина отрезка По теореме Пифагора

Тогда

, а

Ответ:

Проведем отрезки CD₁ и AC.

а) Проекция точки на плоскость — точка . Пусть − проекция на . Треугольник прямоугольный с гипотенузой , поэтому .

б) Искомое расстояние равно длине перпендикуляра CH, проведенного к прямой AD₁. Этот перпендикуляр является медианой равностороннего треугольника ACD₁ со стороной

Ответ:

а) Проекция прямой на плоскость это прямая . как диагонали ромба. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Пусть — центр грани Плоскость пересекает плоскость по прямой где — середина отрезка Прямая перпендикулярна плоскости поскольку перпендикулярна прямым и Следовательно, плоскости и перпендикулярны. Поэтому расстояние от точки до плоскости равно высоте прямоугольного треугольника

Из условия следует, что

Откуда:

Ответ: 4,8.

а) Пусть — высота треугольника тогда — середина стороны Прямая параллельная плоскости поэтому расстояние от точек и до плоскости равны. Плоскость пересекает плоскость по прямой где — середина отрезка Прямая перпендикулярна плоскости поскольку перпендикулярна прямым и Следовательно, плоскости и перпендикулярны.

б) По доказанному в пункте а) расстояние от точки до плоскости равно высоте прямоугольного треугольника

Из условия следует, что Откуда:

Ответ: 2,4.

а) Проекция точки на плоскость это середина ребра . Поэтому проекция прямой на плоскость параллельна прямой по теореме о средней линии. Значит, она перпендикулярна прямой , а тогда, по теореме о трех перпендикулярах, и прямая перпендикулярна прямой .

б) Пусть — середина ребра а — середина ребра Заметим, что — трапеция, так как

Получаем:

Заметим, что Продлим прямые и и обозначим точку их пересечения В треугольнике значит, является средней линией, и - середина Треугольник - правильный. - медиана и высота. Значит, - перпендикуляр к и искомое расстояние равно

Ответ: 2.

а) Объем куба равен 1. Найдём объём пирамиды Он равен

б)Пусть — искомое расстояние. Найдём теперь объём пирамиды другим способом. Он равен Треугольник — равнобедренный, его основание равно а боковые стороны равны Если

— середина основания то поэтому Следовательно, объём пирамиды равен Приравняем выражения для объёма: откуда

Ответ:

а) Прямые и параллельны. Аналогично . Значит, по признаку параллельности плоскостей, . Поэтому точки и равноудалены от плоскости .

б) Плоскость проходит через точку пересечения диагоналей квадрата Опустим перпендикуляр на плоскость Точка является точкой пересечения диагоналей квадрата Диагонали квадрата в раз больше стороны квадрата и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому Отрезок равен стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Найдём синус угла

Опустим перпендикуляр на плоскость он попадёт на продолжение отрезка Длина отрезка и будет являться расстоянием от точки до плоскости Рассмотрим четырёхугольник и следовательно, — прямоугольник, откуда Прямая — секущая при параллельных прямых и поэтому углы и равны. Из прямоугольного треугольника найдём

Ответ:

а) Плоскость пересекает плоскость по прямой параллельной прямым и Поскольку призма прямая и прямая перпендикулярна грани поэтому . Таким образом, — прямоугольная трапеция.

б) Пусть — высота треугольника . Используя пункт а), получаем, что и, следовательно, Отсюда следует, что расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка

Найдём из треугольника

По теореме Пифагора: Найдём

Ответ: 2.

а) Призма — прямая, поэтому прямая перпендикулярна плоскости и, значит, . Значит, треугольник − прямоугольный.

б) Пусть — высота треугольника Призма — прямая, поэтому прямая перпендикулярна плоскости и, значит, Следовательно, Отсюда следует, что расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка По теореме Пифагора Найдём

Ответ: 2.

а) Треугольник тупоугольный, с тупым углом , поэтому. Значит

б) Опустим из точки перпендикуляр на прямую и проведем в плоскости грани прямую параллельную прямой Так как то и а, значит, прямая является проекцией прямой на плоскость Поскольку то а, следовательно, и согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:

1) из

2) из

Ответ: 15.

а) Заметим, что в правильном шестиугольнике диагонали и перпендикулярны. Вершина проектируется в центр шестиугольника, который лежит на , поэтому проекция на плоскость основания — прямая . Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) В треугольнике проведём высоты и Искомое расстояние — длина отрезка Ясно, что, откуда Треугольник равнобедренный, Тогда

Следовательно,

Ответ:

а) Заметим, что в правильном шестиугольнике диагонали и перпендикулярны. Вершина проектируется в центр шестиугольника, который лежит на , поэтому проекция на плоскость основания — прямая . Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне шестиугольника. Значит, Поэтому треугольник — равносторонний. Следовательно, высота этого треугольника равна

Ответ:

а) BE - высота равностороннего треугольника BCD. AE - высота равностороннего треугольника ACD. Поэтому и . Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, .

б) Рассмотрим треугольник и его высоты и Составим равенство: Заметим теперь, что треугольник равнобедренный и поэтому Тогда

Ответ:

а) Проекция прямой AS на плоскость основания пирамиды — прямая AC. , как диагонали квадрата. Поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Рассмотрим треугольник и его высоты и Составим равенство

Тогда

Ответ:

а) Проведем . Этот отрезок делится плоскостью пополам (диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам). А если наклонные, проведенные из точек к плоскости равны, то и расстояния от этих точек до этой плоскости равны.

б) Искомое расстояние равно высоте треугольника Треугольник равнобедренный, поскольку Дополнительно проведём высоту и медиану Найдём её длину:

Тогда, откуда получаем уравнение Следовательно,

Ответ:

а) Отрезок делится плоскостью пополам (так как диагонали прямоугольника делят друг друга пополам). Если наклонные, проведенные из точек к плоскости равны, то равны и расстояния от этих точек до плоскости. Поэтому A и равноудалены от плоскости .

б) Искомое расстояние равно высоте треугольника Треугольник равнобедренный, поскольку Дополнительно проведём высоту и медиану Найдём её длину: Тогда откуда получаем уравнение Следовательно,

Ответ:

а) Введём обозначения, как показано на рисунке. CE − перпендикуляр к плоскости , поэтому, по определению, CE перпендикулярен всем прямым в этой плоскости, в том числе и прямой .

б) По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. — проекция прямой на плоскость следовательно, угол — угол между наклонной и плоскостью значит, этот угол равен 30°. Из прямоугольного треугольника

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника находим:

Обозначим искомое расстояние Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: Применим теорему косинусов для треугольника тогда

По смыслу задачи подходит только корень

Ответ:

Примечание.

Можно заметить, что треугольник B₁EC прямоугольный: прямая CE перпендикулярна BЕ, BЕ — проекция наклонной B₁Е, а тогда по теореме о трёх перпендикулярах CE перпендикулярна наклонной B₁Е. Далее: гипотенуза вдвое больше катета, лежащего напротив угла 30°: Искомую высоту призмы находим по гипотенузе и катету из прямоугольного треугольника B₁ВC:

а) Вспомним, что по определению угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. — проекция прямой на плоскость следовательно, угол — угол между наклонной и плоскостью значит, этот угол равен 30°.

б) Из прямоугольного треугольника

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника находим:

Обозначим искомое расстояние Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: Рассмотрим треугольник , он прямоугольный и

По смыслу задачи подходит только корень

Ответ:

а) Проекция прямой на плоскость основания − это прямая . В правильном шестиугольнике диагонали и перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Угол между прямыми AB₁ и BC₁ равен углу между прямыми OC₁ и BC₁.

В треугольнике OBC₁ OB = 1, BC₁=OC₁=

Из теоремы косинусов получаем

Косинус положителен, значит, - острый, значит, это искомый угол угол между прямыми

Ответ: 0,75.

а) Пусть  — середина  — середина значит, Кроме того, следовательно, плоскость Опустим перпендикуляр из точки на прямую кроме этого, (так как лежит в плоскости ), следовательно, и является искомым расстоянием.

б) Искомый отрезок является высотой прямоугольного треугольника с прямым углом

Поэтому

Ответ:

а) Пусть отрезок ― хорда основания, параллельная Тогда треугольник является искомым сечением, так как плоскость содержит прямую и прямую параллельную

б) Опустим перпендикуляр на прямую Согласно теореме о трех перпендикулярах также является перпендикуляром к значит, Высота треугольника лежит в плоскости следовательно, и значит,

Далее находим:

1) из условия

2) из правильного треугольника

3) из прямоугольного треугольника

4) из прямоугольного треугольника

а)

б)

Ответ:

а) Пусть отрезок ― хорда основания, параллельная Тогда треугольник окажется искомым сечением, так как плоскость содержит прямую и прямую параллельную

б) Опустим перпендикуляр на прямую Согласно теореме о трех перпендикулярах также является перпендикуляром к значит, Высота треугольника лежит в плоскости , следовательно, и , значит,

Далее находим:

1) из условия ;

2) из прямоугольного треугольника

3) из прямоугольного треугольника

4) из прямоугольного треугольника

а)

б)

Ответ:

а) Прямая BC параллельна AD, значит, плоскость проходит через среднюю линию треугольника — середина ребра SB. где

Построим сечение ADMK. Отрезок BS делится плоскостью этого сечения пополам, поэтому и расстояния от B и S до этой плоскости равны.

б) Пусть P — середина AD, N — середина BC. Рассмотрим сечение NSP:

Значит, треугольник SNP равносторонний. Искомое расстояние равно расстоянию от N до PQ, где Q — середина SN, PQ — медиана и высота треугольника SNP. Поэтому искомое расстояние равно

Ответ:

а) Построим сечение ADMK, где K — середина ребра SB и KM || BC || AD — средняя линия треугольника SBC. Эта плоскость делит отрезок пополам, значит точки и находятся на равных расстояниях от плоскости .

б) Покажем, что искомое расстояние равно длине SQ, где Q — середина SN — высоты боковой грани SBC.

Рассмотрим плоскость SNP, где P — середина стороны AD.

Значит, треугольник SNP — равносторонний и медиана PQ является также высотой. Следовательно, PQ ⊥ SQ, учитывая, что средняя линия KM ⊥ SQ, можем сделать вывод, что SQ ⊥ ADM, значит, искомое расстояние

Ответ: 1.

а) Заметим, что , как диагонали квадрата. Кроме того, . Поэтому, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, . Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, .

б) Обозначим угол между и буквой Пусть — высота пирамиды Тогда — средняя линия треугольника , следовательно, Поэтому По условию

Основание — квадрат со стороной, равной Следовательно, , , Далее, из прямоугольного треугольника находим:

Боковое ребро , поскольку — средняя линия треугольника Далее, из прямоугольного треугольника находим искомую высоту пирамиды :

Ответ: 5.

а) Опустим из точки перпендикуляр на прямую Так как то а, значит, отрезок ― высота прямоугольного треугольника В то же время — катет этого треугольника. Поэтому .

б) Отрезок ― высота прямоугольного треугольника откуда Далее находим:

Ответ: 12.

а) Опустим из точки перпендикуляр на прямую Так как то а, значит, отрезок ― высота прямоугольного треугольника В то же время — катет этого треугольника, поэтому .

б) Отрезок ― высота прямоугольного треугольника откуда Далее находим:

Ответ:

а) Пусть – высота пирамиды. Тогда проекцией прямой на плоскость основания является прямая . Треугольник равносторонний, поэтому . Поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Треугольник равносторонний, поэтому

Пусть – объём пирамиды, тогда

С другой стороны, где h – искомое расстояние.

В треугольнике высота равна

Площадь треугольника равна Получаем, что

Ответ:

а) Прямые BB₁ и DB перпендикулярны прямой ED. Плоскость DEA₁, содержащая прямую ED, перпендикулярна плоскости BB₁D по признаку перпендикулярности плоскостей.

б) Искомое расстояние равно высоте BH прямоугольного треугольника BB₁D, в котором BB₁ = 1, , B₁D = 2:

Ответ:

а) Так как ABCDEF правильный шестиугольник, то прямые FC и DE параллельны, параллельны также прямые и следовательно, прямые и параллельны, то есть лежат в одной плоскости.

Плоскость содержит прямую , перпендикулярную прямой , поэтому, по признаку перпендикулярности плоскостей, .

б) Расстояние от точки до прямой равно расстоянию между прямыми и

В трапеции

тогда

Ответ:

а) Проведем отрезки и поскольку а  — проекция на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах

б) Таким образом искомое расстояние — длина отрезка

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный,

По теореме Пифагора находим:

Ответ: 2.

а) Пусть  — середина ребра  — середина ребра По теореме о средней линии треугольника следовательно, точки лежат в одной плоскости.

следовательно, точки являются вершинами параллелограмма.

Кроме того, а по теореме о трёх перпендикулярах, так как получим поэтому этот параллелограмм — прямоугольник.

б) Пусть точка O является центром правильного треугольника, а следовательно, центром описанной и вписанной окружностей. Отрезок AO является радиусом описанной окружности около треугольника ABC, он в корень из трёх раз меньше его стороны. По пункту а), искомое расстояние есть длина отрезка Отрезок

По теореме Пифагора

Ответ:

а) Пусть  — центр основания, а  — середина ребра  — середина ребра Тогда поэтому точки лежат в одной плоскости и являются вершинами трапеции.

По теореме о средней линии треугольника так что трапеция равнобедренная.

б) Так как

Основания трапеции равны В треугольнике проведем высоты и Тогда

Заметим, что поэтому

Ответ:

а) В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому . является проекцией на плоскость , поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую и проведем в плоскости грани прямую EF, параллельную прямой Так как , то и , а, значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку , то , а, следовательно, и согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:

1) из : ;

2) из :

Ответ: 10.

а) Пусть SO и AH – высоты пирамиды. Точка M − середина BC. Заметим, что точка O лежит на высоте равностороннего треугольника ABC, то есть на отрезке AM. Точка A равноудалена от B и С, поэтому и ее проекция на плоскость − H равноудалена от B и С. Значит, точка H лежит на серединном перпендикуляре к BC - прямой SM. Таким образом, AH и SO лежат в плоскости ASM, а значит пересекаются в одной точке.

б)

Пусть V – объём пирамиды, тогда

С другой стороны, где h – искомое расстояние.

В треугольнике SBC высота SM равна

Площадь треугольника SBC равна Получаем, что

Ответ:

а) , значит, по теореме о трех перпендикулярах, . Аналогично . Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, .

б)Плоскость проходит через точку пересечения диагоналей квадрата Опустим перпендикуляр на плоскость Точка является точкой пересечения диагоналей квадрата Диагонали квадрата в раз больше стороны квадрата и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому Отрезок равен стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Найдём синус угла

Опустим перпендикуляр на плоскость он попадёт на продолжение отрезка Длина отрезка и будет являться расстоянием от точки до плоскости Рассмотрим четырёхугольник и следовательно, — прямоугольник, откуда Прямая — секущая при параллельных прямых и поэтому углы и равны. Из прямоугольного треугольника найдём

Ответ:

а)

Аналогично,

б) Рассмотрим треугольную пирамиду Ее объем можно выразить двумя способами:

1)

2) , где искомое расстояние.

Приравняем выражения для объемов и выразим его:

Найдем площадь равнобедренного треугольника Проведем в нем высоту

Следовательно, искомое расстояние

Ответ:

Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AC, AD и перпендикуляра к плоскости ACD. За единицу длины выберем длину поскольку ADC — прямоугольный треугольник с углом 45°. По условию, прямая AB перпендикулярна прямой CD, поэтому и проекция AB на плоскость ACD перпендикулярна CD. Значит, проекция точки B лежит на биссектрисе угла DAC, поэтому координаты B по x и y равны. Пусть  — координаты этой точки. Координаты остальных вершин таковы — По условию, то есть Найдем уравнение плоскости ABC. Допустим оно имеет вид Подставляя координаты точек, получим

Из первых двух уравнений следует для последнего уравнения можно взять Итак, уравнение плоскости Вектор имеет координаты Посчитаем угол между прямой и плоскостью. Имеем:

Это уравнение сводится к откуда Тогда

откуда

Первый вариант дает точку A, а вовсе не B. Тогда но мы можем считать, что изначально поместив пирамиду в верхнее полупространство.

a) Найдем уравнение грани BCD. Допустим оно имеет вид Подставляя координаты точек, получим

Возьмем тогда из последних двух уравнений и тогда из первого Итак, уравнение плоскости BCD имеет вид Середина AB имеет координаты Расстояние от нее до плоскости ACD равно ее z-координате, то есть Вычислим расстояние до BCD:

что и требовалось доказать.

б) Вектор сонаправлен вектору поэтому нужно посчитать угол между этим вектором и плоскостью

Ответ: б)

а) Рассмотрим треугольник SEB. В нём MN — средняя линия, следовательно, Кроме того, и как одна из главных диагоналей шестиугольника. Значит, и следовательно, AMNF — параллелограмм, и прямая

б) Расстояние от точки E до AM равно высоте треугольника AEM, проведённой из вершины E. Найдём стороны этого треугольника. Сторона как малая диагональ шестиугольника,

Теперь найдём по формуле Герона:

откуда

Ответ: