Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Угол между плоскостями
1.

В кубе ABCDA1B1C1D1

а) Докажите, что плоскость BA1C1 и прямая B_1D перпендикулярны.

б) Найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

2.

Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC одинаков и равен \arctg корень из 2 . Основанием пирамиды являются прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

а) Докажите, что проекцией вершины пирамиды на плоскость основания является центр вписанной окружности треугольника ABC.

б) Найти боковую поверхность пирамиды, если AB= корень из 5 , а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.

3.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: AB=21 корень из (3) ,SC=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.

4.

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AB1D1 и ACD1.

5.

Основанием прямой призмы ABCA_1B_1C_1 является равнобедренный треугольник ABC,AB=AC=5,BC=8. Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой A_1B и плоскостью BCC_1.

6.

Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби . Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

7.

Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен  дробь: числитель: корень из (6) , знаменатель: 6 конец дроби . Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

8.

В кубе ABCDA1B1C1D1

а) Докажите, что плоскости AB_1D_1 и A_1BC перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями AB1D1 и ACD1.

9.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что плоскости A_1BD и B_1CD_1 параллельны.

б) Пусть дополнительно известно, что параллелепипед прямоугольный, кроме того AB = 4, BC = 6, CC1 = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1.

10.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что плоскости A_1BD и B_1CD_1 параллельны.

б) Пусть известно еще, что параллелепипед прямоугольный, а кроме того AB = 6, BC = 6, CC1 = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1.

11.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB. Кроме того известно, что SC = 6, BC = 4.

а) Докажите, что BMC -- равнобедренный, остроугольный треугольник.

б) Найдите угол между плоскостями CMK и ABC.

12.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB.

а) Докажите, что прямые SC и AB перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если SC = 8, AB = 6.

13.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC.

а) Докажите, что прямые AS и BD перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 4, SC = 7.

14.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC.

а) Докажите, что прямые SB и MK перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 8, SC = 6.

15.

Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1. Основание призмы — ромб с острым углом A=60 градусов.

а)  Докажите, что AD_1=DB_1.

б) Найдите угол между плоскостью AC1B и плоскостью ABD, если высота призмы равна 5, а ребро основания равно 4.

16.

Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1. Основание призмы — ромб.

а) Докажите, что прямая A1C образует с прямыми AB и AD равные углы.

б) Найдите угол между плоскостью AC1B и плоскостью ABD, если известно, что сторона основания равна 8, острый угол основания равен 45°, а высота призмы равна 6.

17.

В кубе ABCDA1B1C1D1

а) Докажите, что плоскость B_1CD_1 перпендикулярна прямой AC_1.

б) Найдите косинус угла между плоскостями AB1D1 и ACD1.

18.

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD = 5.

а) Докажите, что расстояние между прямыми AC и B1D1 равно расстоянию между прямыми A_1D_1 и BD.

б) Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 13.

19.

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1  — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD= корень из (11) .

а) Докажите, что расстояние между прямыми AC и B1D1 равно расстоянию между прямыми BD и A_1D_1.

б) Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 2 корень из (3) .

20.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D — середина ребра CC1.

а) Докажите, что плоскость ADB_1 делит объем призмы пополам.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

21.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1.

а) Докажите, что плоскость AB_1D делит объем призмы пополам.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

22.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 2 : 1.

а) Докажите, что вершины A_1 и С равноудалены от плоскости BED1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

23.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 2.

а) Докажите, что точки A и C_1 равноудалены от плоскости BED1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

24.

Дана правильная треугольная пирамида.

а) Докажите, что её противоположные ребра перпендикулярны.

б) Пусть известно, что косинус угла между боковой гранью и основанием равен  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби . Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

25.

Дана правильная треугольная пирамида.

а) Докажите, что её противоположные ребра перпендикулярны.

б) Пусть косинус угла между боковой гранью и основанием равен  дробь: числитель: корень из (6) , знаменатель: 6 конец дроби . Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

26.

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна  корень из (5) .

а) Докажите, что объем пирамиды A_1BCC_1B_1 вдвое больше объема пирамиды AA_1BC.

б) Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.

27.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC.

а) Докажите, что ребро SD делится плоскостью MKB в отношении 1:2, считая от вершины S.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 8, SC = 10.

28.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.

а) Докажите, что прямые SB и SD перпендикулярны.

б) Найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.

29.

Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной 10 и ∠A = 120° расположен так, что его вершина A лежит на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины B и C — на окружности верхнего основания.

а) Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра.

б) Докажите, что радиус основания цилиндра больше, чем AB.

30.

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K так, что AK : KB = 5 : 1.

а) Докажите, что объем пирамиды делится плоскостью MKC в отношении 5:1.

б) Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MK. Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

31.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно отношение ребер АВ : BC : CC1 = 1 : 2 : 3.

а) Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ВС1D.

б) Докажите, что косинус угла между плоскостями АА1D и ВС1D равен 6/7.

32.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 3 корень из (2) . Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Через вершину А параллельно BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 3 : 2, считая от вершины S.

а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок SO в отношении 3 : 1, где О — центр основания.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.

33.

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ — точка Е, а на ребре АМ — точка L. Известно, что CD = BE = AL = 2.

а) Докажите, что плоскость EDL делит объем пирамиды МАВС в отношении 1:8.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

34.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 через середину D ребра CC1 проведено сечение ADB1.

а) Докажите, что плоскость сечения делит объем призмы пополам.

б)  Найдите угол между плоскостями АВС и ADB1, если боковые ребра равны 2, а стороны основания равны 5.