Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Сечения многогранников
1.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 8, AD = 7, AA1 = 5. Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D.

а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C, W и A1 — параллелограмм.

б) Найдите площадь этого сечения.

2.

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.

а) Докажите, что высота этой пирамиды равна диагонали её основания.

б) Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

3.

Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64, и площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания, тоже равна 64. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

4.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC.

а) Докажите, что AM=AB.

б) Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна 25 корень из 3 . Найдите сторону основания.

5.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S.

а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок DB в отношении 3:1, считая от вершины D.

б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

6.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания равна 11, а боковое ребро AA_1=7. Точка K принадлежит ребру B_1C_1 и делит его в отношении 8:3, считая от вершины B_1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B,D и K.

7.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA_1 = 7. Точка M принадлежит ребру A_1D_1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины D_1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B,D и M.

8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны рёбра AB = 8, AD = 7, AA_1 = 5. Точка W принадлежит ребру DD_1 и делит его в отношении 1:4, считая от вершины D. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C,W и A_1.

9.

Плоскость  альфа пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость  бета , параллельная плоскости  альфа , касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью  альфа .

10.

Плоскость  альфа пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость  бета , параллельная плоскости  альфа , касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью  альфа .

11.

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD=AE=LM=4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E,D и L.

12.

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что СD = BE = LM = 2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

13.

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 9, а боковые рёбра равны 15.

а) Докажите, что сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC параллельно прямой MB, является прямоугольником.

б) Найдите площадь этого сечения.

14.

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 6, а боковые рёбра равны 9.

а) Докажите, что сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AC и BC параллельно прямой MC, является прямоугольником.

б) Найдите площадь этого сечения.

15.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1, известны рёбра: AB = 3, AD = 2, AA1 = 5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины B.

а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1, является ромбом.

б) Найдите площадь этого сечения.

16.

Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью A1BE − это равнобокая трапеция.

б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 2.

17.

Точка E — середина ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью D1AE есть равнобокая трапеция.

б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 4.

18.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4.

а) Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A1C1, и докажите, что это равнобокая трапеция.

б) Найдите площадь этого сечения.

19.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 8, боковые рёбра равны  корень из (13) .

а) Изобразите сечение, проходящее через вершины A, C и середину ребра A1B1, и докажите, что оно является равнобокой трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

20.

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16.

а) Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

21.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8.

а) Докажите, что плоскость, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, делит ребро MC в отношении 2:1, считая от вершины M.

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

22.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D1.

а) Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этой трапеции.

23.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 11, а боковое ребро AA1 = 7. Точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 8 : 3, считая от вершины B1.

а) Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K, есть равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь этого сечения.

24.

В правильной треугольной пирамиде SABC провели сечение плоскостью, проходящей через сторону основания AB перпендикулярно ребру SC .

а) Докажите, что площадь этого сечения относится к площади основания так же, как высота пирамиды относится к её боковому ребру.

б) Найдите площадь сечения если боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4.

25.

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 6, а сторона основания AB = 4.

а) Докажите, что объем пирамиды SABC равен произведению ребра SC на площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC.

б) Найдите площадь этого сечения.

26.

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AE = LM = 4.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки E, D и L, проходит еще и через центр основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

27.

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что СD = BE = LM = 2.

а) Докажите, что плоскость EDL содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

28.

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5.

а) Докажите, что сечение шара плоскостью есть круг.

б) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

29.

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4.

а) Докажите, что сечение шара плоскостью есть круг.

б) Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

30.

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3.

а) Докажите, что угол \angle APB меньше 60 градусов.

б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

31.

В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA = 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2, и BE = 1.

а) Докажите, что ADE − равносторонний треугольник.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

32.

В треугольной пирамиде MABC, в основаниии которой лежит правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка F. Известно, что AD = 4 и BE = 2, F — середина AM.

а) Докажите, что треугольник ADE − равносторонний.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и F.

33.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через M — середину AB, N — середину BC, и вершину S.

а) Докажите, что прямые MN и SD перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

34.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.

а) Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении 1:7.

б) Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

35.

Плоскость α перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны AB и BC основания пополам.

а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.

36.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ребро основания AB = 2, высота AA1 = 6, точка M — середина F1E1, проведено сечение через точки A, C и M.

а) Докажите, что сечение проходит через середину ребра D1E1.

б) Найдите площадь этого сечения.

37.

В правильной пирамиде SABC точки N и M — середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K, SK : KA = 1 : 3. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q.

а) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды.

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.

38.

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами является прямоугольник ABCD, площадь которого равна 25. Плоскость, параллельная плоскости основания, пересекает ребро AS в точке A1, а высоту пирамиды — в середине О. Угол между гранями ADS и BCS равен 60°.

а) Докажите, что сечение пирамиды OABCD плоскостью BCA1 делит ее высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины.

б) Найдите площадь сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1.

39.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 на боковом ребре BB1 взята точка M так, что BM : MB1 = 2 : 5. Плоскость α проходит через точки M и D и параллельна прямой A1C1. Плоскость α пересекает ребро CC1 в точке Q.

а) Докажите, что ребро CC1 делится точкой Q в отношении 1 : 6.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если CD = 12, AA = 14.

40.

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 1. Точка F — середина AB.

а) Докажите, что угол между прямыми SF и AC равен 60 градусов.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым BD и .

41.

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 1, боковое ребро равно 2. Плоскость сечения проходит через середины ребер AD и CC1 параллельно диагонали B1D.

а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро BB1 в отношении 1 : 5, считая от точки B1.

б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания параллелепипеда.

42.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AB = 4, AA_1= корень из (6) . На ребрах AB и B1C1 оснований взяты соответственно точки M и N так, что BM : AB = B1N : B1C1 = 1 : 4. Через середину P бокового ребра BB1 проведено сечение призмы, перпендикулярное прямой MN.

а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро АА1в отношении 5:1, считая от вершины A.

б) Найдите площадь сечения.

43.

В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N — середины ребер АВ и CD.

а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45°;

б)  Найдите расстояние между прямыми MN и AD.

44.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S через сторону основания АВ проведена плоскость, делящая боковые ребра противоположной грани пополам.

а) Докажите, что плоскость сечения делит грань SCD на части, площади которых относятся как 1 : 2.

б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если сторона основания равна 1, а высота пирамиды равна  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

45.

Дана правильная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания АВ = 4, а боковое ребро АА1 = 9, Точка М — середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, что АТ = 3.

а) Докажите, что плоскость ВВ1М делит отрезок С1Т пополам.

б) Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1 на две части. Найти длину большей из них.