Решение. Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок синус должен принимать все значения (см. рис.)

Пусть тогда неравенство принимает вид

Рассмотрим функцию Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

Решение. Пусть Если то  — два корня. Если тогда  — единственный корень.

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение имеет корни, из которых ровно ровно один больше 1.

Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Решение. Пусть Если тогда и Если тогда

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:

1) когда уравнение имеет всего один корень и этот корень больше 1;

2) когда уравнение имеет ровно два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.

Рассмотрим эти случаи:

1) Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

2) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Решение. Сделаем замену тогда Имеем:

Причем значениям x из отрезка соответствуют t, лежащие в отрезке

При неравенство (⁎) верно, поскольку на отрезке первое слагаемое в левой части неотрицательно, а другие положительны. Если то старший коэффициент квадратичной функции отрицателен, а потому для того, чтобы функция f была положительной на необходимо и достаточно одновременного выполнения неравенств и Тогда и то есть Учитывая условие находим: Объединяя со случаем окончательно получаем:

Ответ:

Решение. Сделаем замену поэтому Задачу можно сформулировать так: найдите значения a, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном значении a число не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке то есть

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке то есть

3) Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба, а также вершина, лежат на промежутке то есть

где  — абсцисса вершины параболы. Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Решим третью систему:

Приведем решение, предложенное Ириной Владимировной Шраго.

Сделаем замену поэтому и преобразуем уравнение.

Задачу можно сформулировать так: найдите значения a, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию Левая часть этого уравнения функция графиком которой является парабола, правая часть функция  — пучок прямых проходящих через точку Для того, чтобы исходное уравнение имело решение, необходимо, чтобы графики пересекались при

Определим, при каких a графики касаются, в этом случае дискриминант уравнения должен быть равен нулю. откуда a = –3 или a = –2. В первом случае касание происходит при а во втором при Таким образом, при  — графики пересекаются на промежутке при  — графики не пересекаются, при  — графики пересекаются на промежутке

Откуда и следует ответ.

Ответ:

Решение. Сделаем замену

Исходное уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда имеет хотя бы одно решение система

Преобразуем систему:

При система решений не имеет.

При имеем:

Система имеет решения при

Ответ:

Приведём другое решение

Поделим числитель и знаменатель дроби на

Сделаем замену

поэтому

Задачу можно сформулировать так: найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном значении a число не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 1), то есть

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0; 1])(см.рис. 2), то есть

3) Трёхчлен имеет два корня,возможно, совпадающих, и оба лежат на промежутке (0; 1])(см.рис. 3), то есть

Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции :

Решим систему:

Решим систему:

Решим систему: откуда

Ответ:

Решение. Запишем исходное уравнение в виде

Пусть t = cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх,

следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии (рис. 1) откуда либо при условии (рис. 2) откуда

Ответ:

Решение. Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок косинус должен принимать значения (см. рис.)

Пусть тогда и неравенство принимает вид

Введём функцию

Для того, чтобы множество решений неравенства (3) содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

Решение. Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок удвоенный аргумент должен содержать отрезок а косинус двойного угла должен принимать все значения (см. рис.).

Пусть тогда неравенство принимает вид

Рассмотрим функцию

Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

Решение. Пусть Преобразуем подкоренное выражение из левой части уравнения.

Тогда для исходного уравнения получаем:

Пусть Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, для того, чтобы уравнение а значит, и исходное уравнение, имело корни как большие −3, так и меньшие −3, необходимо и достаточно, чтобы Решим это неравенство:

Ответ:

Решение. Заметим, что

Тогда получаем:

Пусть тогда Для того, чтобы исходное неравенство было выполнено при любом значении x, необходимо и достаточно, чтобы неравенство было выполнено для всех Рассмотрим квадратичную функцию с положительным старшим коэффициентом, эскиз графика которой приведен на рисунке. Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система

Ответ:

Решение. Преобразуем неравенство, раскрыв скобки, и запишем его как квадратное от a:

Рассмотрим  — квадратичную функцию с положительным старшим коэффициентом. Для того, чтобы неравенство выполнялось хотя бы при при одном значении а, принадлежащем отрезку [−1; 2] необходимо и достаточно, чтобы не выполнялась система

то есть выполнялась совокупность

Ответ:

Решение. Вычтем из второго уравнения первое и сгруппируем слагаемые:

Пусть тогда Получаем систему

Первое уравнение имеет решение при тогда система имеет решения в том случае, когда уравнение имеет хотя бы один корень, удовлетворяющий условию Дискриминант этого квадратного уравнения равен

Значит, уравнение имеет корни при

Рассмотрим квадратичную функцию Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины При абсцисса вершины Значит, только один (меньший) корень уравнения может быть не больше Для этого достаточно, чтобы

Ответ:

Решение. Заметим, что

Пусть где тогда

Рассмотрим функцию Для того, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня один из которых не менее 0,5, уравнение должно иметь два положительных корня, хотя бы один из которых не больше Это достигается в двух случаях.

Рассмотрим первую систему:

эта система решений не имеет. Решим вторую систему:

Ответ: