Решение. а) Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.

б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если то левая часть больше 246: следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

Приведем другое решение.

а) 

б)  Так как Число n не может быть равно или быть больше. Число удовлетворяет условию.

в)  — не удовлетворяет.

Так как имеем  — много есть таких прогрессий. Имеем  — есть такая прогрессия.

Ответ: а) да; б) 41; в) 3; 6.

Решение. Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди … равны соответственно. Тогда и

а) По условию

Решая систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными, находим: Значит,

б) Если где то В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая  — нет, поэтому не может быть равным 4547.

в) Если где то Кроме того, поскольку получаем:

Вычтем из первого полученного равенства второе: Значит, делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При получаем:

При получаем:

Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917.

Решение. а) Очевидно, что начиная со второй строчки, все числа в таблице не больше 1000. Кроме того, каждое число не больше написанного под ним. Поэтому сумма чисел в третьей строчке не меньше, чем во второй и т. д., и каждая из этих сумм не больше миллиона. Следовательно, поскольку все время суммы возрастать не могут, в каких-то соседних строчках суммы совпадут, а тогда совпадут и сами строчки.

б) Докажем, что если в m-ой строчке при число отлично от написанного над ним, то оно не меньше, чем Действительно, для это очевидно, так как все числа второй строки натуральные. Пусть это уже проверено для всех строк с номерами, меньшими Пусть в -ой строчке написано число а под ним написано число b, большее Тогда в -ой строчке написано b чисел, равных Ясно, что в -ой строчке будет написано несколько групп одинаковых чисел, по в каждой группе, причем числа из разных групп различны. Отсюда вытекает, что b делится на то есть Кроме того, по крайней мере одно из чисел в этих группах отличается от а значит, по предположению индукции Итак, Наше утверждение доказано по индукции для всех Если предположить, что 11-я строчка отлична от 12-й, то какое-то число в 12-й строчке будет больше, чем что невозможно.

в) Приведем такой пример:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

…………………………………………………………….

256, ……………………………., 256, 488, …, 488

1 512, ……………………………., 512, 488, …, 488

В первой строчке 0 и 1 встречаются по одному разу, 2 — два раза, 4 — четыре раза, 8 — восемь раз, …., 256 — 256 раз, 488 — встречается 488 раз, в 11 строчке встречается 512 раз число 512 и 488 раз число 488.

Решение. а) Например, годится такая прогрессия:

б) Например, годится такая прогрессия:

в) Ясно, что последовательность является арифметической прогрессией с разностью Кроме того, каждый член такой последовательности можно сократить так, чтобы в числителе была единица. Значит, все они являются членами исходной последовательности.

Решение. а) Закон можно угадать, заметив, например, что пока число однозначное, оно удваивается, а потом — нет. А то, что 10 переходит в 2, наводит на мысль, что удваивается не само число, а сумма его цифр. Итак, искомый закон обнаружен: «Удвоенная сумма цифр».

б) Легко заметить, что однозначных чисел, больших нуля, с требуемым свойством нет. Попробуем найти решение среди двузначных чисел. Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая равна b, то само число равно 10a + b. Имеем 10a + b = 2(a + b). Отсюда 8a = b, то есть a = 1, b = 8.

Можно показать, что других решений нет: самое маленькое трёхзначное число — 100, а самая большая сумма трёх цифр 9 + 9 + 9 = 27, поэтому удвоенная сумма цифр всегда меньше самого числа. Так же с четырехзначными, пятизначными, и так далее.

в) Заметим, что если число не меньше, чем трёхзначное, то его сумма цифр меньше самого числа. Значит, число будет уменьшаться, пока не станет двузначным или однозначным. Остаётся единственная опасность: попасть в «неподвижную точку» — 18. Но это в нашем случае невозможно, так как исходное число не делилось на 9, а при данном преобразовании числа, не кратные 9, не могут перейти в числа, кратные 9.

Ответ: а) удвоенная сумма цифр; б) 18.

Решение. а) Достаточно заметить, что в последовательности 1975237796915163559217996... после каждой чётной цифры идут подряд четыре нечётные цифры. Поэтому четвёрка 1 2 3 4 в этой последовательности встретиться не может. Четвёрка 3 2 6 9 тоже встретиться не может.

б) В условии задачи дано правило, как по четырём рядом стоящим цифрам определять следующую цифру. Попробуем сделать наоборот: по четырём рядом стоящим цифрам

a b c d определить предшествующую им цифру x. Поскольку цифра d следует за четвёркой цифр x a b c, то цифра d равна последней цифре суммы x + a + b + c и, значит, x + a+ b + c = 10k + d при некотором целом k. Отсюда, x = 10k + (d − a − b − c). Поскольку x — цифра, то из последнего выражения следует, что x равно остатку от деления на 10 числа (d − a − b − c). Разделить число p на число q с остатком — значит, найти числа s и r такие, что psq + r и 0 ≤ r < q. Остаток от деления одного целого числа на другое определяется однозначно; значит, цифра x также определяется однозначно. Например, чтобы определить цифру, предшествующую четвёрке 1 9 7 5, надо от 5 отнять 1, 9, 7 и разделить полученное число (─12) с остатком на 10. В остатке получим 8; значит, цифра 8 предшествует четвёрке 1 9 7 5. Итак, мы доказали следующее утверждение: двум одинаковым четвёркам цифр, стоящих рядом в последовательности 197523..., предшествует одна и та же цифра. Поскольку различных четвёрок цифр конечное число, а именно, 10000 штук, — то в бесконечной последовательности 197523... какая-то четвёрка встретится вторично. Пусть это будет четвёрка цифр a, b, c, d. Тогда последовательность имеет вид

1 9 7 5 2 3 ... x a b c d ... y a b c d ...

Напишем под этой последовательностью эту же последовательность ещё раз, но «сдвинутую» так, чтобы под первой четвёркой a b c d оказалась вторая. Согласно доказанному выше утверждению x = y. Аналогично, совпадают цифры и в предшествующем x и y столбце, и так далее. Поэтому под четвёркой 1 9 7 5 в «верхней» последовательности стоит четвёрка 1 9 7 5 в «нижней» последовательности. А это и означает, что четвёрка 1 9 7 5 встречается в последовательности 1 9 7 5 2 3 ... вторично.

в) Как было показано выше, перед четвёркой цифр 1 9 7 5, встречающейся в последовательности 1 9 7 5 2 3 ... во второй раз, будет стоять цифра 8. Значит, в рассматриваемой последовательности встретится четвёрка 8 1 9 7.

Решение. а) Сумма числа 9 и числа, записанного под ним, заключена между 10 и 18. Так как на этом отрезке есть только один точный квадрат, под числом 9 должно быть записано число 7. Аналогично, число 7 должно быть записано над числом 9. Также проверяется, что под числами 4, 5 и 6 должны быть записаны числа 5, 4 и 3 соответственно. Теперь уже нетрудно получить ответ:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
8	2	6	5	4	3	9	1	7

б) Нетрудно видеть, что под числом 11 может быть записано только число 5, но под числом 4 тоже может быть записано только число 5. Противоречие.

в) Идея состоит в том, чтобы свести задачу к аналогичной задаче для меньшего n. Запишем под числом k число 2025 — k для всех k = 29, 30, ..., 1996. Тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная с 29-го, равна 45², а числа от 1 до 28 остались «неиспользованными». Значит, задача сводится к случаю n = 28.

Далее под числами k = 21, 22, ..., 28 запишем числа 49 — k. Задача свелась к n = 20. Затем под числами k = 16, 17, 18, 19, 20 запишем числа 36 — k. Задача свелась к случаю n = 15 и, наконец, каждому k = 1, 2, ..., 15 поставим в соответствие число 16 − k.

Решение. а) Рассмотрим последовательность: Легко видеть, что это прогрессия с разностью

б) Пусть существует бесконечная арифметическая прогрессия, все члены которой являются членами данной последовательности. Пусть, для определенности, первый член этой прогрессии равен а разность этой прогрессии равна Тогда возьмем натуральное n такое, что Тогда получим, что Значит, -ый член нашей прогрессии отрицательный, а этого не может быть.

в) Рассмотрим следующую арифметическую прогрессию: …, Ясно, что каждая из этих дробей является членом данной последовательности.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

Решение. Заметим, что

а) Пусть это Тогда их произведение равно и

б) Пусть это q не обязано быть целым, но должно быть рациональным. Пусть  — несократимая дробь, тогда имеем Значит, 792 кратно (оно не может сокращаться со знаменателем), откуда Значит, a кратно (иначе  — нецелое), кратно 792 кратно (оно не сократилось), откуда и прогрессия постоянна.

в) Да, например 1,2,4,9,11.

Ответ: а) Нет; б) нет; в) да.

Решение. а) Пример: 1, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов равна 36 − 14 = 22. Если добавить число 4, то разность будет равна 100 − 30 = 70, что ровно на 48 больше, чем было.

б) Обозначим члены прогрессии a₁, a₂, ..., a_n. Тогда разность, вычиcленная математиком в первый раз, равна

Когда к прогрессии добавили член a_n+1, вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым

где d — разность прогрессии.

Из условия следует, что и поэтому

Получаем неравенство откуда Значит, 12 членов в начальной прогрессии быть не может.

в) Из решения пункта б) следует, что

Из равенства следует, что n является делителем числа 1440. Значит,

Пусть n = 10, получаем

Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение которое не имеет целых решений.

Пусть n = 9, получаем

Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Тогда получаем уравнение которое не имеет целых решений.

Пусть n = 8, получаем:

Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение которое имеет единственный натуральный корень 4.

Значит, прогрессия из восьми чисел 4, 5, 6, ..., 11 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) 1, 2, 3; б) нет; в) 8.

Решение. а) Например, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов этих чисел равна 25 − 13 = 12. Если добавить число 4, то разность будет равна 81 − 29 = 52, что ровно на 40 больше, чем было.

б) Обозначим члены прогрессии a₁, a₂,..., a_n. Тогда разность, вычисленная математиком в первый раз, равна

Когда к прогрессии добавили член то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым

где d — разность прогрессии.

Из условия следует, что и поэтому

Получаем неравенство

откуда Значит, 13 членов в начальной прогрессии быть не может.

в) Из равенства следует, что n является делителем числа 1768 = 2 · 2 · 2  · 13  · 17. Наибольший делитель, меньший 13, равен 8. При n = 8 получаем

Если то левая часть не меньше, чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение

которое имеет единственный натуральный корень 5. Значит, прогрессия из восьми чисел 5, 6, 7, ..., 12 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) 2, 3; б) нет; в) 8.

Решение. а) Да. Например, числа 1, 3, 5, 7 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

б) Так как все данные n чисел натуральные, то наименьшее из них больше или равно 1, а поскольку все эти числа различны (т. е. отличаются друг от друга не менее, чем на 1), то их сумма S не меньше суммы 1 + 2 + ... +, т. е. Если известно, что S < 900, то из неравенства следует, что откуда n < 42 (при имеем: ). При n = 41 имеем: натуральные числа от 1 до 41 (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно 41, а сумма меньше 900. Таким образом, наибольшее возможное значение n в пункте б) равно 41.

в) Пусть  — наименьшее из данных n чисел, образующих арифметическую прогрессию, d — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих n чисел равна Если известно, что сумма данных n чисел равна 235, то Заметим, что число 47 простое и (в пункте б) доказано, что ), то n — один из делителей числа 10.

Так как то возможные значения n = 5 или n = 10. Подставим в равенство поочередно n = 5 и n = 10, получаем следующие равенства: и Первое из этих равенств выполняется, например, при а второе — при Прогрессии 1, 24, 47, 70, 93 и 1, 6, 11, …, 46 состоят из 5 и 10 членов, а их сумма равна 235.

Ответ: а) да; б) 41; в) 5 и 10.

Решение. а) Нет. Если известно, что S = 13, то Заметим, что так как n = 13 или n = 26. Но сумма 13-ти различных натуральных чисел больше 13.

б) Так как все данные n чисел натуральные, то наименьшее из них больше или равно 1, а поскольку все эти числа различны (отличаются друг от друга не менее, чем на 1), то их сумма S не меньше суммы 1 + 2 + 3 +...+n, то есть Если известно, что S < 500, то из неравенства следует, что откуда n < 32 (при имеем: ). При имеем: натуральные числа от 1 до 31 (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно 31, а сумма меньше 500. Таким образом, наибольшее возможное значение n в пункте б) равно 31.

в) Пусть  — наименьшее из данных n чисел, образующих арифметическую прогрессию, d — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих n чисел равна Если известно, что сумма данных n чисел равна 57, то Заметим, что и n — один из делителей числа 114.

Так как то возможные значения n = 3, 6, 19, 38, 57 и 114. Исходя из неравенства получим, что

При n = 3 получаем равенство которое выполняются, например, при Прогрессия 1; 19; 37 состоит из 3 членов, сумма равна 57.

При n = 6 получаем равенство которое выполняются при Прогрессия 2, 5, 8, 11, 14, 17 состоит из 6 членов, сумма равна 57.

Ответ: а) нет; б) 31; в) 3, 6.

Решение. а) Пусть a₁ = 3 и a₂ = 1. Тогда a₃ = 3 + 1 = 4, a₄ = 1 + 4 = 5, a₅ = 4 + 5 = 9 и 5a₅ = 9a₄.

б) Предположим, что 5a₅ = 7a₄. Тогда a₅ = 7a и a₄ = 5a, где Имеем a₃ = a₅ − a₄ = 2a, a₂ = a₄ − a₃ = 3a и a₁ = a₃ − a₂ = − a < 0. Получаем противоречие.

в) Пример последовательности 3, 3, 6, 9, 15, 24,... показывает, что равенство может выполняться при n = 5. Действительно, для такой последовательности выполнены условия задачи и 15a₆ = 24a₅.

Пусть n ≥ 6 и Положим Тогда a_n = 3na и Имеем

Так как a_{n − 4} > 0 , то n² − 5n − 1 < 0. Следовательно, n < 6. Полученное противоречие показывает, что при n ≥ 6 равенство выполняться не может.

Ответ: а) да; б) нет; в) при n = 5.

Приведём идею решения п. в) Леонида Колмогорцева.

Если равенство выполняется то откуда в силу того, что после почленного деления получаем:

Левая часть полученного равенства меньше 2 для всех n, так как Правая часть равенства является возрастающей функций от n. Поэтому решениями неравенства могут быть только такие значения переменной, для которых правая часть меньше 2. Следовательно, Далее рассмотрим возможность существования решения при и аналогично пунктам а) и б).

Решение. Без ограничения общности можно считать прогрессию возрастающей. Обозначим a — первый член прогрессии, n — количество членов, а d — её разность. Числа a, n, и d — натуральные.

а) Сумма первого и пятого членов этой прогрессии равна 2a + 4d и является чётным числом. Поскольку число 99 нечётное, сумма наибольшего и наименьшего членов конечной арифметической прогрессии из 5 натуральных чисел не может быть равной 99.

б) Сумма первого и шестого членов этой прогрессии равна 2a + 5d = 9. Поскольку d — натуральное число, получаем, что d = 1. Тогда a = 2. Искомые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

в) Среднее арифметическое прогрессии равно полусумме её крайних членов, поэтому получаем Значит, Натуральные числа от 1 до 12 составляют прогрессию, среднее арифметическое членов которой равно 6,5, а количество членов равно 12. Поэтому наибольшее возможное количество чисел — 12.

Ответ: а) нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) 12.

Решение. Без ограничения общности можно считать, что числа составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть a — первый член этой прогрессии, d её разность. Тогда сумма её членов

а) Да, может. Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, и их сумма равна 10.

б) Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство

Значит, откуда находим Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000 . Значит, наибольшее значение n равно 44.

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, число n является делителем числа 258. Если то следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Ответ: а) да; б) 44; в) 3, 6.

Решение. а) Число 8 является суммой четырех последовательных членов арифметической прогрессии. Например, 8 = − 1 + 1 + 3 + 5.

б) Пусть число 1 является суммой первых k членов арифметической прогрессии с первым членом а и разностью d. Тогда

значит, число k — делитель 2, что противоречит условию

в) Любое натурально число является суммой арифметической прогрессии состоящей из членов. Если заменить все члены этой прогрессии на противоположные, то получится арифметическая прогрессия, состоящая из 2n членов, сумма которой равна −n.

В предыдущем пункте мы показали, что S не может равняться 1. Аналогично можно показать, что S не может равняться −1. Число S может равняться 0, например, для прогрессии −1; 0; 1. Таким образом, S может принимать любые целые значения, кроме −1 и 1.

Ответ: а) да; б) нет; в) любые целые значения, кроме −1 и 1.

Решение. а) Нет, поскольку не делится на а не является квадратом натурального числа.

б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку не делится на 3.

Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку не является кубом натурального числа.

Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, то эти числа: но уравнение не имеет целых корней.

Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую, то эти числа: и где a — натуральное число. Тогда последнее число должно равняться

в) Да, например,

Ответ: а) Нет, б) нет, в) да.

Решение. a) Рассмотрим разбиение числа на слагаемых, равных При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее чисел, сумма которых равна Значит, S не может быть равным

б) Поскольку S является суммой двух чисел, не больших получаем Пусть Рассмотрим разбиение числа S на слагаемых, равных При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее чисел, сумма которых равна Значит, S не может быть больше

в) Докажем, что число удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: Можно считать, что слагаемые упорядочены по невозрастанию: Первую группу составим из k наибольших слагаемых так, чтобы Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.

Пусть тогда и Поэтому то есть и Тогда Полученное противоречие доказывает, что Поэтому сумма слагаемых во второй группе

Таким образом, число удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел не удовлетворяет условию задачи. Значит, максимально возможное значение S равно 37,05.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 37,05.

Приведем решение пункта в) Татьяны Кравченко из Санкт-Петербурга.

Докажем, что число удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим произвольное представление числа 37,05 в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: Упорядочим слагаемые по неубыванию и будем добавлять в первую группу меньшие слагаемые, начиная с первого. При добавлении очередного слагаемого Х в первую группу сумма слагаемых в ней превысит 19. Это слагаемое из первой группы исключим и будем рассматривать отдельно, а все остальные слагаемые (большие или равные Х) поместим во вторую группу. Пусть S₁ — сумма слагаемых в первой группе, S₂ — сумма слагаемых во второй группе, причем и

Предположим, что тогда поскольку Но тогда и любое слагаемое из второй группы больше 0,95. Учитывая, что получим, что во второй группе должно быть не более 18 слагаемых. Каждое слагаемое меньше 1, поэтому При и получим, что Это противоречит условию. Следовательно, S₁ не может быть меньше 18,05: в этом случае S₂ + X не превосходит 19. Отнесем Х ко второй группе, и искомое разбиение будет достигнуто.

Таким образом, число 37,05 удовлетворяет условию задачи. В предыдущем пункте было показано, что ни одно из чисел? больших 37,05, не удовлетворяет условию задачи. Значит, максимально возможное значение S равно 37,05.

Решение. Случай а). Пусть числа где по условию b — натуральное число,  — искомые члены прогрессии. Их произведение равно но уравнение не имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.

Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов а пятое натуральное число равно Поскольку имеем: что невозможно для натуральных и k поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от 1. Заметим однако, что знаменатель прогрессии q может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть  — несократимая дробь, Тогда что невозможно, так как разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.

Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов а четвертое и пятое натуральные числа равны k и Тогда Положим в этом равенстве Далее, полагая получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

Решение. а) Если последовательность состоит из двух членов, a и (в произвольном порядке), то Уравнение не имеет решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов.

б) Последовательность может состоять из трёх членов: 252, 2520, 252.

в) Приведём пример последовательности из 549 членов: Сумма её членов равна

Допустим, что в последовательности более чем 549 членов. Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый и второй, третий и четвёртый, пятый и шестой и т. д. Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Значит, сумма всех членов последовательности не меньше, чем Получили противоречие.

Ответ: а) нет, б) да, в) 549.

Решение. а) Подходящим примером является прогрессия с первым членом 50 и разностью 50. Среди первых семи её членов (50, 100, 150, 200, 250, 300, 350) ровно три делятся на 100.

б) Обозначим через d разность арифметической прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, .... Из условия следует, что d — натуральное число. Пусть m и n — натуральные числа, m > n, НОД(d, 100) обозначает наибольший общий делитель чисел d и 100. Имеем

Следовательно, разность a_m − a_n делится на 100 тогда и только тогда, когда разность m − n делится на Значит, если среди членов арифметической прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, ... есть кратные 100, то это члены с номерами вида где q — номер первого члена, кратного а p пробегает все неотрицательные целые числа. Поэтому среди любых k последовательных членов прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, ... ровно один будет делиться на 100. Если то и среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₉ будет по крайней мере 12 чисел, кратных 100. Если же то и среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₉ будет не более 10 чисел, кратных 100. Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₉ ровно 11 чисел делятся на 100.

в) Обозначим через [x] целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. По доказанному в пункте б) среди любых k последовательных членов прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, ... ровно один будет делиться на 100, где d — разность арифметической прогрессии.

Значит, среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n кратными 100 будут не более чисел. Аналогично, среди чисел a_2n + 1, a_2n + 2, ..., a_5n кратными 100 будут не менее чисел. Неравенство выполнено тогда и только тогда, когда Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами и меньше 1. Получаем, что и Значит, и Поскольку число k не превосходит 100, отсюда следует, что Рассмотрим прогрессию с первым членом 69 и разностью 1. Тогда среди чисел a₁, a₂, ..., a₁₃₂ ровно два делятся на 100 (a₃₂ = 100 и a₁₃₂ = 200). Среди чисел a₁₃₃, a₁₃₄, ..., a₃₃₀ ровно одно делится на 100 (a₂₃₂ = 300). Этот пример показывает, что n может равняться 66.

Ответ: а) Да, например, прогрессия 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, ...; б) нет; в) 66.

Решение. Заметим, что если то а тогда Итак, если в последовательности каждое число, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних чисел, то последовательность разностей соседних членов убывает — это необходимое и достаточное условие.

а) Если разность второго и первого членов отрицательна, то и все остальные разности тоже отрицательны. Тогда каждый следующий член меньше предыдущего и потому они все отрицательны. Поэтому последний член не может быть равен нулю.

б) Поскольку имеем:

откуда и не может равняться 20.

в) Приведем пример последовательности {a_n}, для которой  — меньше быть не может по доказанному в предыдущем пункте. В ней: и для всех n таких, что член a_n равен сумме первых члена последовательности 39, 38, 37, ..., −39, то есть последовательность имеет вид 0, 39, 77, 114, ... Тогда условие задачи выполнено: последовательность разностей соседних членов выбрана нами убывающей.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 39.

Примечание.

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 514525 основной волны ЕГЭ по математике 2016 года.

Решение. а) Например, последовательность 2, 7, 11, 14, 6.

б) Да, например, последовательность 6, 7, 7, 6, 3.

в) Пусть первый и шестой члены последовательности равны 1, в противном случае сумма членов последовательности возрастет. Рассмотрим последовательность

Если то удвоенный второй член последовательности не больше суммы первого и третьего.

Если то должно быть выполнено неравенство откуда что невозможно, или Последний случай тоже невозможен, поскольку тогда последовательность принимает вид 1, 2, 2, c, d, 1, а тогда и и подобрать d невозможно.

Пусть тогда откуда Случаи невозможны (доказывается аналогично). Если то Сумма членов последовательность 1, 3, 4, 4, 3, 1 наименьшая, она равна 16.

Ответ: 2, 7, 11, 14, 6; б) да, например, 6, 7, 7, 6, 3; в) 16.

Примечание 1.

В пункте в) можно было бы упростить перебор, заметив, что для заданной в условии последовательности разности последующего и предыдущего членов уменьшаются с ростом n.

Примечание 2.

Для последовательностей с большим количеством членов приведенный в пункте в) перебор затруднителен. Способ рассуждения для n = 10 приведён нами в задании 514525, взятой из основной волны ЕГЭ 2016 года.

Решение. а) Например, последовательность 1, 12, 17, 20.

б) Например, последовательность 1, 12, 20, 20, 12, 1.

в) Для выполнено неравенство

то есть последовательность разностей соседних членов последовательности убывает — это необходимое и достаточное условие. Пусть тогда, как показано выше,

а значит,

Заметим, что и откуда

Умножив первое неравенство на а второе на и сложив их, получаем:

Таким образом, а их сумма не меньше 70. Последовательность 1, 5, 8, 10, 11, 11, 10, 8, 5, 1 удовлетворяет условию задачи, а сумма её членов равна 70.

Ответ: а) 1, 12, 17, 20; б) да, например, 1, 12, 20, 20, 12, 1; в) 70.

Примечание.

Решение аналогичной задачи № 562820 записано нами в более конкретном (и менее общем) виде.

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 562763, разработанным для досрочной волны ЕГЭ по математике 2021 года (сам экзамен не проводился из-за вирусной пандемии).

Решение. а) Среднее арифметическое всех чисел равно 4. Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4». Тогда

б) Пусть числа разбиты на две группы по 15 чисел в каждой; сумма чисел в первой группе равна S₁, а во второй группе — S₂. Тогда

что равно среднему арифметическому всех чисел.

в) Если в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5», то

В противоположном случае в одной из групп количество «3» больше количества «5». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе меньше 4. Можно считать, что это верная группа. Среди дробей, меньших 4, знаменатель которых не превосходит 29, наибольшая дробь — это то есть А не превосходит Очевидно, что В не может быть больше 5. Значит,

Если в одной группе одна «5», а в другой все остальные числа, то

Ответ: а) например, в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4»; в)

Решение. а) Среднее арифметическое всех чисел равно 4. Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4». Тогда

б) Пусть числа разбиты на две группы по 12 чисел в каждой; сумма чисел в первой группе равна S₁, а во второй группе — S₂. Тогда

что равно среднему арифметическому всех чисел.

в) Если в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5», то

В противоположном случае в одной из групп количество «3» больше количества «5». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе меньше 4. Можно считать, что это верная группа. Среди дробей, меньших 4, знаменатель которых не превосходит 23, наибольшая дробь — это то есть А не превосходит Очевидно, что В не может быть больше 5. Значит,

Если в одной группе одна «5», а в другой все остальные числа, то

Ответ: а) например, в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4»; в)

Решение. а) Например, последовательность 6, 0, 3, 1, 1, 1, 0 удовлетворяет условию задачи.

б) Если получаем:

откуда что невозможно, поскольку последовательность должна состоять из однозначных чисел. Значит, не существует такой последовательности, для которой

в) Поскольку получаем:

а так как получаем:

то есть

В последовательности 9, 3, 0, 1, 1, 1, 0 имеем:

Ответ:а) например, 6, 0, 3, 1, 1, 1, 0; б) нет; в) 2,5.

Решение. а) Например, 2, 4, 5, 5, 4.

б) Нет. Заметим, что то есть разность между соседними членами последовательности уменьшается на 1. Поэтому последовательность с какого-то момента убывает, а до этого момента возможно возрастает (возрастающей части может и не быть, если разность сразу выбрать отрицательной). Очевидно, каждое число может не более одного раза встретиться на участке возрастания и на участке убывания.

в) Заметим, что если ко всем членам последовательности прибавить одно и то же число, она по прежнему будет удовлетворять условию. Выберем максимальный ее член x и прибавим ко всем членам по Теперь максимальный равен 999, а остальные остались трехзначными.

Изучим, сколько трехзначных чисел может содержать убывающая последовательность такого типа, начинающаяся с 999. Это будут числа

Ответ: а) Да; б) нет; в) 84.

Решение. а) Например, 9, 18, 24, 28.

б) Поскольку числа и a_k дают одинаковые остатки при делении на 3. Значит, все члены последовательности (кроме, может быть, последнего — он не нужен для дальнейших вычислений) дают одинаковые остатки от деления на 3. Будем сразу считать, что если такое возможно, то a_n — последний член последовательности (выкинем остальные). Тогда поэтому и оно дает тот же остаток при делении на 3.

Заметим, что если вычесть из всех членов последовательности одно и то же число, то соотношение из условия будет выполнено и для новой последовательности. Соотношение будет выполнено, если было выполнено ранее. Вычтем тогда из всех членов последовательности Теперь мы можем считать, что а остальные члены последовательности — натуральные числа. Значит, они все делятся на 3. Поделим. Опять же, соотношение из условия будет выполнено и для новой последовательности. Соотношение будет выполнено, если было выполнено ранее. Значит, все ее члены опять делятся на 3. Поделим. Поскольку этот процесс можно продолжать бесконечно, все члены нашей последовательности делятся на любую степень тройки, что невозможно.

в) Обозначим Поскольку то Обозначая имеем Далее, поэтому b делится на Теперь разберем несколько случаев.

1)  тогда откуда При имеем и последовательность имеет вид 2, 401, 667. Осталось выяснить, может ли быть

2)  тогда

3)  тогда

4)  тогда

5)  тогда

6)  тогда b кратно 729 и

Ответ: а) 9, 18, 24, 28; б) нет; в) 2.

Решение. а) Пример: 1, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов равна 36 − 14 = 22. Если добавить число 4, то разность будет равна 100 − 30 = 70, что ровно на 48 больше, чем было.

б) Обозначим члены прогрессии Тогда разность, вычисленная математиком в первый раз, равна

Когда к прогрессии добавили член то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым

Из условия следует, что и поэтому

Получаем неравенство откуда Значит, 12 членов в начальной прогрессии быть не может.

в) Из равенства следует, что n является делителем числа 1440. Значит,

Если n = 10, получаем Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение которое не имеет целых решений. Если n = 9, получаем Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение которое не имеет целых решений. Если n = 8, получаем Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение которое имеет единственный натуральный корень 4. Значит, прогрессия из восьми чисел 4, 5, 6, ..., 11 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) 1, 2, 3; б) нет; в) 8.

Решение. а) Например, подходит последовательность

б) При всех натуральных положим Тогда равенство равносильно равенству Следовательно, последовательность b_k при образует геометрическую прогрессию со знаменателем

Имеем

Значит, равенство ни при каком выполняться не может.

в) Как доказано в решении пункта б, последовательность при образует геометрическую прогрессию со знаменателем Имеем Следовательно, делится на а даёт при делении на тот же остаток, что и число 315. Так как получаем, что Остатки при делении числа на и соответственно равны и Значит, не может быть меньше 3.

Пример последовательности показывает, что может равняться 3.

Ответ: а) например, последовательность ; б) нет; в) 3.

Решение. а) Подходящим примером являются прогрессии и соответственно. Для этих прогрессий имеем

б) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий и соответственно. Тогда

Если то Пришли к противоречию, ведь по условию и

в) Как и ранее, обозначим через c и d разности арифметических прогрессий и соответственно. Тогда по условию и По доказанному в пункте б имеем Значит,

Если прогрессии и являются прогрессиями и соответственно, то

Этот пример показывает, что наибольшее возможное значение произведения равно

Ответ: а) да, например, и соответственно; б) нет; в) 98.

Решение. а) Например, последовательность 4, 9, 7, 7, 7, 5 удовлетворяет условию задачи.

б) Если получаем:

откуда что невозможно. Значит, не существует такой последовательности, для которой

в) Поскольку получаем

а так как получаем:

то есть

В последовательности 0, 5, 9, 7, 7, 7 имеем:

Ответ: а) например, 4, 9, 7, 7, 7, 5; б) нет; в) 5,2.

Решение. а) Пусть Максим записал 0 на странице с номером 48. Тогда сумма чисел, записанных Максимом на страницах

с 1 по 95 равна Тогда что и требовалось.

б) Заметим, что чем больше номер страницы, на которой Максим написал число 0, тем меньше сумма написанных им чисел. Найдем сумму чисел от 1 до 95. Она равна Теперь понятно, что 0 написан на первой странице. Действительно, если бы 0 был написан на какой-то из последующих страниц, то сумма бы уменьшилась.

в) Пусть Максим записал 0 на странице с номером Тогда сумма чисел, записанных на страницах с номерами от 1 до включительно равна Останется всего страниц.

Значит, Используя формулу суммы арифметической прогрессии получаем:

Отсюда

Ответ: а) 48; б) 1; в) 28.

Решение. а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, −2, 7, −4, …, 233, −230, 235 удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).

б) Поскольку 3, 5 и 25 — нечётные числа, любые два соседних члена последовательности имеют разную чётность. На нечётных местах должны стоять нечётные числа, а на чётных — чётные. Число 235 нечётное, поэтому оно не может стоять на чётном месте. Значит, последовательность не может состоять из 1000 членов.

в) Рассмотрим три члена последовательности: a_k, a_k+1, a_k+2 (). Поскольку a_k + a_k+1 ≥ 3, a_k+1 + a_k+2 ≤ 25, получаем a_k+2 ≤ a_k+22. В предыдущем пункте было показано, что последовательность должна состоять из нечётного числа членов.

Пусть n = 2m + 1, тогда

откуда m ≥ 11. Значит, последовательность состоит не менее чем из 23 чисел.

Приведём пример последовательности, удовлетворяющей условию задачи, состоящей из 23 членов:

Ответ: а) например, 1, 2, 3, 0, 5, −2, 7, −4, …, 233, −230, 235; б) нет; в) 23.

Решение. а) Пусть и Тогда и

б) Предположим, что Тогда и где Имеем и Получаем противоречие.

в) Пример последовательности 3, 8, 11, 19, 30, 49,... показывает, что равенство может выполняться при Действительно, для такой последовательности выполнены условия задачи и

Пусть и Положим

Имеем:

Так как получаем, что Следовательно, Полученное противоречие показывает, что при равенство выполняться не может.

Ответ: а) да; б) нет; в) при

Решение. а) Подходящим примером является прогрессия с первым членом 50 и разностью 50. Среди первых семи её членов (50, 100, 150, 200, 250, 300, 350) ровно три делятся на 100.

б) Обозначим через d разность арифметической прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, ... . Из условия следует, что d — натуральное число. Пусть m и n — натуральные числа, m > n, НОД (d, 100) обозначает наибольший общий делитель чисел d и 100. Имеем

Следовательно, разность делится на 100 тогда и только тогда, когда разность m − n делится на Значит, если среди членов арифметической прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, ... есть кратные 100, то это члены с номерами вида kp + q, где q — номер первого члена, кратного 100 а p пробегает все неотрицательные целые числа. Поэтому среди любых k последовательных членов прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, ... ровно один будет делиться на 100.

Таким образом, если l — количество членов прогрессии делящихся на 100 среди m последовательных членов, то для некоторого целого k должно выполняться неравенство то есть в нашем случае:

в) Обозначим через [x] целую часть числа x — наименьшее целое число, не превосходящее x. По доказанному в пункте б) среди любых k последовательных членов прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, ... ровно один будет делиться на 100, где d — арифметической прогрессии.

Значит, среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n, кратными 100 будут не более чисел. Аналогично среди чисел a_2n + 1, a_2n + 2, ..., a_5n кратными 100 будут не менее чисел. Неравенство выполнено тогда и только тогда, когда Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами и меньше 1. Получаем, что и Значит, и Поскольку число k не превосходит 100, отсюда следует, что

Рассмотрим прогрессию с первым членом 69 и разностью 1. Тогда среди чисел a₁, a₂, ..., a₁₃₂ ровно два делятся на 100 (a₃₂ = 100 и a₁₃₂ = 200). Среди чисел a₁₃₃, a₁₃₄, ..., a₃₃₀ ровно одно делится на 100 (a₂₃₂ = 300). Этот пример показывает, что n может равняться 66.

Ответ: а) Да, например, прогрессия 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, ...; б) нет; в) 66.

Решение. а) Пусть Петя в первый день решил x задач. Тогда в оставшиеся дни он решил x + 2, x + 4, x + 6, x + 8 задач. Всего в сборнике оказывается 5x + 20 задач. Вася в первый день решил x – 1 задачу. В следующие дни он решал x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, ... задач. За пять дней решить все задачи Вася не мог. Если Вася решил все задачи сборника за шесть дней, то он решил 6x + 9 задач. Уравнение 5x + 20 = 6x + 9 имеет решение x = 11. Тем самым приведен пример, удовлетворяющий условию: Вася решил в первый день 10 задач, Петя — 11 задач.

б) Вновь обозначим за x число задач, решенных Петей в первый день. Тогда всего Петя решил 4x + 12 задач. Вася решал x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5, ... задач. Если Вася решил все задачи сборника за четыре дня или менее, то он решил не более 4x + 10 задач. Но тогда Вася решил меньше задач, чем Петя. Противоречие. Если Вася решал задачи пять дней или более, то он решил как минимум 5x + 15 задач. Тогда Вася решил больше задач, чем Петя. Противоречие.

в) Петя решал задачи не менее семи дней. Начнем со случая, когда он решал задачи ровно семь дней.

Тогда в сборнике оказывается 7x + 42 задачи. Если Вася решил в первый день на одну задачу больше, чем Петя, то за семь дней он решил 7x + 28 задач. Следовательно, Вася решал задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил 8x + 36 задач. Уравнение 7x + 42 = 8x + 36 имеет решение x = 6. За девять или более дней Вася бы решил как минимум 9x + 45 задач, что превосходит число задач в сборнике. Если Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, то вновь ему, очевидно, придется решать задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил 8x + 20 задач, за девять дней 9x + 27 задач, за десять дней 10x + 35 задач, за большее число дней как минимум 11x + 44 задачи (что заведомо больше числа задач в сборнике). Уравнения 7x + 42 = 8x + 20, 7x + 42 = 9x + 27, 7x + 42 = 10x + 35 не имеют целых решений, меньших 6.

Тем самым, в случае, когда Петя решал задачи ровно семь дней, в сборнике не могло оказаться меньше задач (напомним, что такое могло быть, если Петя решил в первый день 6 задач, а Вася 7, Петя решал задачи 7 дней, а Вася 8).

Перейдем к случаям, когда Петя решал задачи более семи дней. Перечислим всевозможные значения, которые может принимать сумма 1 + 2 + ... + n: это 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, ... (так называемые «треугольные числа»).

Если Петя решил весь сборник за 8 дней, то он решил 8x + 56 задач. Нас интересует, может ли это число быть меньше 84. Необходимо проверить x = 1, x = 2, x = 3.

При x = 1 задач в сборнике Вася в первый день решил 2 задачи, то есть всего Вася решил 2 + 3 + 4 + 5 + ... задач. Следовательно, 64 должно быть меньше треугольного числа на 1. Противоречие.

При x = 2 задач в сборнике Вася в первый день решил или 1 задачу, или 3 задачи. Следовательно, 72 должно или совпадать с треугольным числом, либо быть меньше него на 1 + 2 = 3. Противоречие.

При x = 3 задач в сборнике Вася в первый день решил или 2, или 4 задачи. Следовательно, 80 должно быть меньше треугольного числа или на 1, или на 1 + 2 + 3 = 6. Противоречие.

Если же Петя решил весь сборник за 9 дней, то он решил 9x + 72 задач. Единственная подходящая возможность, чтобы задач в сборнике было меньше 84, это x = 1. Но тогда в сборнике 81 задача. В первый день Вася решил 2 задачи. Следовательно, 81 должно быть на 1 меньше треугольного числа. Противоречие.

Если Петя решал сборник более 9 дней, то он решил как минимум 10x + 90 задач, что заведомо больше 84.

Ответ: а) да; б) нет; в) 84.

Решение. Пусть Вася в первый день решил a задач, а Петя — b задач. Вася решал задачи n дней, а Петя — m дней. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии. Получим, что за n дней Вася решил задач, а Петя за m дней решил задач.

а) Проверим, могли ли мальчики решить 85 задач.

Для Васи: Очевидно, что это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например,

Для Пети: Очевидно, что и это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например,

Значит, в сборнике могло быть 85 задач.

б) Проверим, могло ли в сборнике быть 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней.

Для Пети: Тогда m  — один из делителей числа 213. Заметим, что 71 — простое число, и по условию Тогда или или При любом из этих значений получаем Значит, в сборнике не могло быть 213 задач.

в) Если в сборнике меньше 300 задач, то для числа дней, потраченных Петей, имеем: Следовательно,

При получаем тогда Проверим, мог ли Вася за 16 дней решить 289 задач: Левая часть уравнения кратна 8, а правая нет, значит, m не может равняться 17.

Рассмотрим Имеем Левая часть уравнения кратна 2, а правая нет. Значит, m не может равняться 16.

Рассмотрим Имеем Левая часть уравнения кратна 15, правая может быть кратна 15 при но тогда Значит, m не может равняться 15.

Рассмотрим Имеем Это уравнение имеет решение При этом Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: а) да, б) нет, в) 14.

Решение. а) Пусть мальчики в первый день решили a задач. Тогда за пять дней Петя решил

задач. Таким образом, сборник содержит 5a + 20 задач.

Пусть Вася решил все задачи из сборника за k > 5 дней, тогда

Перепишем последнее уравнение в виде: Нетрудно заметить, что k = 6 и a = 5 ему удовлетворяют.

б) Аналогично пункту а) Петя за десять дней решил задач, а Вася за k > 10 дней решил задач. Из условия, следует, что

Нетрудно заметить, что k = 11 и a = 35 удовлетворяют полученному уравнению.

в) Пусть Вася решал задачи k дней, а Петя — l дней. Тогда

По условию но при этом

Количество задач в сборнике будет минимальным при минимальных значениях l и b.

Минимальное возможное Значение а должно удовлетворять условию значение k — условию

Проверим возможные значения и занесём их в таблицу:

Таким образом, наименьшее число задач в сборнике равно 72, и все условия задачи выполняются при k = 9, a = 4, l = 8, b = 2.

Ответ: а) да; б) да; в) 72.

Решение. Пусть Вася в первый день решил a задач, а Петя — b задач. Вася решал задачи n дней, а Петя — m дней. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии. Получим, что за n дней Вася решил задач, а Петя за m дней решил задач.

а) Проверим, могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней.

Вася за 5 дней решил задач, а Петя задач. Приравняем эти значения: Откуда получаем, что Таким образом, мальчики могли решить все задачи сборника ровно за пять дней, если Вася в первый день решил на две задачи больше, чем Петя.

б) Проверим, могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней.

Вася за 10 дней решил задач, а Петя задач. Приравняем эти значения: Откуда получаем, что Это равенство не может быть выполнено ни при каких целых a и b, следовательно, мальчики не могли решить все задачи сборника ровно за десять дней.

в) Пусть Вася решал задачи k дней, а Петя — l дней. Тогда

По условию но при этом

Количество задач в сборнике будет минимальным при минимальных значениях l и b.

Минимальное возможное Значение а должно удовлетворять условию значение k — условию

Проверим возможные значения и занесём их в таблицу:

Таким образом, наименьшее число задач в сборнике равно 72, и все условия задачи выполняются при k = 9, a = 4, l = 8, b = 2.

Ответ: а) да; б) нет; в) 72.

Решение. а) Пусть a — первое число. Постараемся найти цепочку вида:

Для зацикливания требуется, чтобы Это уравнение имеет натуральное решение: Действительно, имеем цепочку, состоящую из пяти чисел:

б) По условию или или Но  — нечетное число, поэтому есть ровно одна возможность:  — снова нечетное число, поэтому для снова ровно одна возможность. Так всякий раз будут получаться нечетные числа, поскольку сумма нечетного и четного чисел является нечетным числом. Рассуждая аналогично, получаем:

в) Заметим, что цепочка удовлетворяет условиям. Докажем, что наибольший член последовательности не может быть меньше 112.

Пусть a — наибольший член последовательности (начиная с момента, когда впервые произошло умножение на 2; заметим, что в нашем случае 98 не может вычитаться дважды подряд). Тогда предыдущее число — это Следовательно, a — четное.

Ясно, что значение 98 и меньше a быть не может, так как это бы означало, что в нашей цепочке, начиная с первого умножения на 2, ни разу не вычиталось 98. Следовательно, с этого момента были только умножения на 2. Но тогда, очевидно, нашелся бы член последовательности, который больше 112. Поэтому достаточно рассмотреть случаи, когда a равно 110, 108, 106, 104, 102, 100.

Переберем эти значения. Рассмотрим момент, когда a появился впервые (очевидно, номер этого члена последовательности заведомо не превзойдет, например, 10). В случае значений a, равных 100, 102, 106, после вычитания 98 (на следующем шаге), мы попадем в элемент цепочки

и найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен по крайней мере 128).

Значения a, равные 104 и 110, приведут нас в элемент цепочки

Значение приведет нас к цепочке

и вновь найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен, по крайней мере, 160).

Ответ: а) да, б) 9777, в) 112.

Примечание.

Как можно было догадаться, что в пункте в) цепочку надо начинать с 7 (или 14)? Кстати, эта цепочка подходит и для пункта а). Дело в том, что в результате наших операций образуются числа вида где m − нечетное число. Это число должно быть больше 98, но не сильно. Можно перебрать маленькие значения k и подобрать m как раз с этим условием ( больше 98, но не сильно). Так мы довольно быстро получаем число Которое хорошо тем, что при вычитании 98, дает 14 . Это хорошее число, потому что и после нескольких умножений на 2 мы вновь попадем в 112. (Например, 6 − это далеко не такое хорошее число, хоть оно и меньше 14, т. к. после серии умножений 6 на 2, наименьшее число, которое будет больше 98, это 192.)

Можно было также думать: Следовательно, если начать с 14, то через три операции мы получим И при вычитании 98 мы получим т. е. снова 14, а это для нас очень хорошо!

Решение. а) Да, например, 10 раз по 11 и 40 раз по 1.

б) Нет. Заметим, что число дает тот же остаток от деления на 3, что и его сумма цифр. Поэтому сумма всех этих чисел будет давать остаток от деления на 3 такой же, как и просто сумма восьмидесяти единиц, то есть 2, а 150 кратно трем. Противоречие.

в) Ясно, что использовать слагаемые большие чем 111 нельзя, а само число 111 можно, но только один раз. Если оно использовано, то нужно набрать ещё 39, это делается использованием числа 11 от 0 до 3 раз и, соответственно, требует 42, 33, 24, 15 единиц.

Если число не использовано, то можно использовать 11 от 0 до 13 раз. Каждое новое использование 11 вместо двух единиц увеличивает сумму на 9, поэтому должно сопровождаться выкидыванием девяти единиц. Следовательно, можно взять также 150, 141, ..., 33 единицы. Общий ответ: числа 150, 141, ..., 15 (прогрессия с разностью 9).

Ответ: а) да, б) нет, в) 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.

Решение. а) Пусть на доске написаны числа 24, 54 и 204. Тогда их сумма равна 282.

б) Каждое из написанных чисел оканчивается на 4, поэтому если их сумма оканчивается на 0, то их количество должно делиться на 5. Сумма пяти наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна 24 + 54 + 84 +114 + 144 = 420. Значит, получить сумму 390 невозможно.

в) Пусть на доске написано n чисел. Заметим, что любое число, которое оканчивается на 4, представимо в виде 5k + 4. Значит, сумма чисел, написанных на доске, равна 2226 = 5m + 4n. Следовательно, 4n даёт остаток 1 при делении на 5, откуда получаем, что n даёт остаток 4 при делении на 5.

Предположим, что Сумма четырнадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна

Значит, n < 14, следовательно,

Покажем, что могло быть написано девять чисел. Например, сумма девяти чисел 24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 1194 равна 2226.

Ответ: а) да, б) нет, в) 9.

Приведем решение Евгения Обухова (Москва).

а) Возрастающий ряд натуральных чисел, делящихся на 3 (сумма цифр числа делится на 3) и оканчивающихся на 4, начинается фрагментом: 24, 54, 84, 114, 144, ..., . Легко подобрать пример:

б) Допустим, может. Это означает, что в сумме как минимум пять слагаемых (иначе сумма чисел, оканчивающихся на 4, не заканчивается 0). Следовательно, сумма не меньше, чем Противоречие.

в) Из пункта а) следует, что рассматриваемая последовательность чисел возрастает. Разность соседних чисел должна делиться и на 10, так как все числа оканчиваются на 4, и делиться на 3, поскольку все числа делятся на 3. Следовательно, эта разность равна 30. То есть на доске написаны числа вида где k_i — целое неотрицательное число. Тогда сумма n чисел на доске равна

Так как все числа на доске различны, то

Тогда

Из этого неравенства следует, что Из (⁎) следует, что делится на 10, следовательно, и заведомо не подходят. При из (⁎) получаем, что Построение примера завершает его предъявление:

Ответ: а) да, б) нет, в) 9.

Приведем решение Владислава Франка (Санкт-Петербург).

а) Да. Например, 24 + 54 + 204.

б) Нет. Если их последние цифры четверки, то нужно минимум 5 чисел, чтобы их сумма кончалась на 0, но даже сумма самых маленьких пяти таких чисел слишком велика:

в) Разобьем числа на группы по пять. Тогда в каждой группе сумма кончается на 0. Значит, в последней группе (она могла бы быть неполной) должно быть 4 числа — иначе последняя цифра суммы не сойдется. Итак, общее количество чисел может быть 4, 9, 14, 19, ..., . Если взять 14 наименьших чисел, то их сумма будет равна Поэтому чисел не более девяти. Девять чисел взять можно, например,

Ответ: а) да, б) нет, в) 9.

Решение. а) Очевидно, оба числа имеют одинаковую четность, поэтому их сумма четна и не может быть равна 2231.

б) Да, это возможно:

в) Сумма любых двух соседних членов последовательности не меньше 12. Поскольку в последовательности меньше членов. Примером последовательности, состоящей из 371 члена может служить

Решение. а) Например, подходит последовательность 2, 4, 5, 5, 4.

б) При всех натуральных положим Тогда равенство равносильно равенству Следовательно, последовательность b_k при образует арифметическую прогрессию с разностью −1.

Предположим, что некоторое натуральное число встретилось в последовательности a_k три раза. Значит, для некоторых индексов выполнены равенства Поэтому выполнены равенства

и, следовательно, равенство Аналогично получаем Приходим к противоречию, так как

в) Как доказано в решении пункта б, последовательность при образует арифметическую прогрессию с разностью −1. Предположим, что и все числа a_k двузначные. Тогда либо либо

Если то при имеем и

Если то при имеем (поскольку ) и

Полученное противоречие показывает, что

Пример последовательности при показывает, что n может равняться 26. Действительно, тогда последовательность при образует арифметическую прогрессию с разностью −1. Значит, при всех натуральных выполнены равенства и Кроме того, при выполнены неравенства и, следовательно, все члены последовательности a_k являются двузначными числами.

Ответ: а) Например, подходит последовательность 2, 4, 5, 5, 4; б) нет; в) при

Решение. а) Пусть такие числа написаны. Поскольку по условию выполнены равенства и получаем

Следовательно, если также выполняется равенство то Пришли к противоречию.

б) Пусть такие числа написаны. Поскольку при каждом натуральном числе по условию выполнены равенства и получаем

и, следовательно,

при каждом натуральном числе Значит,

При и при каждом натуральном числе имеем

в) Пусть такие числа написаны. Аналогично доказанному в п. б) получаем

С другой стороны,

Следовательно,

Значит, сумма квадратов всех написанных чисел будет минимальна тогда и только тогда, когда максимально выражение Поскольку функция возрастает при и убывает при наибольшее значение выражения для целых равно 30. Оно достигается при и Таким образом, получаем, что сумма

квадратов всех написанных чисел принимает наименьшее значение при и при каждом натуральном числе а также при и при каждом натуральном числе Это значение равно

Ответ: а) нет; б) да; в) 187.

Решение. а) Обозначим a₁ = a, тогда a₂ = a + 4 и a₃ = a + 4 + 16 = a + 20. И то и другое будет простым числом, например, при a = 9.

б) Имеем:

причем a_n простое и больше двух (последовательность возрастает и a₁ > 4), поэтому a_n нечетно. Значит, 2a_n не кратно 4, а потому и 2aⁿ + 4n² не кратно 4.

в) Допустим, что a_n, a_n + 1, a_n + 2, a_n + 3 — простые. Тогда они все не кратны 3 (они все больше 4). Но квадрат при делении на 3 дает либо остаток 0 (у чисел кратных 3) , либо остаток 1 (у остальных чисел). Значит, среди n², (n + 1)², (n + 2)² будет ровно одно число с остатком 0 и два числа с остатком 1. Каким бы ни был остаток у a_n, одно из получаемых чисел будет кратно трем.

С другой стороны, в последовательности 27, 31, 47, 83, ... есть три простых числа подряд.

Ответ: а) да б) нет в) 3.

Решение. Заметим, что

a) Да. Прогрессия 272, 340, 425 с первым членом 272 и знаменателем удовлетворяет условию задачи.

б) Нет. Множитель 5 является простым числом, значит, число 680 может быть только вторым членом этой геометрической прогрессии. Для такой прогрессии знаменатель Но тогда третий члено прогрессии является четырёхзначным числом, что противоречит условию.

в) Наибольший член данной прогрессии должен иметь вид где Наибольшее кратное 17 трёхзначное число равно 986. Разложим его на простые множители:  — не подходит. Рассмотрим следующие по убыванию трёхзначные числа, кратные 17:

Приведём пример такой прогрессии с первым членом 272 и знаменателем 272, 408, 612, 918.

Ответ: а) да, б) нет, в) 918.

Решение. Обозначим первый член прогрессии a, разность d.

а) По формуле для суммы прогрессии получим:

Это возможно например при a = 300, d = 12.

б) По формуле для суммы прогрессии получим откуда то есть число 700 делится на n. Аналогично получим:

то есть 1250 делится на n + 2. Выпишем все делители числа 700:

Увеличим их на 2, получим

Из них 1250 не делится ни на одно число, поэтому такое невозможно.

в) Рассмотрим уравнение Выпишем все делители числа

Кроме того, при имеем

поэтому так много членов в прогрессии быть не может. Разберем остальные случаи и приведем примеры прогрессий там, где они есть:

Ответ: а) да; б) нет; в) 1, 2, 5, 10, 25.