Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Объёмы многогранников
1.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 8 корень из (3) , а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1.

 

а) Докажите, что расстояние между прямыми A_1D и CC_1 равно расстоянию между точкой A и плоскостью BCC_1.

 

б) Найдите объём пятигранника ABCA1D.

2.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно  корень из (3) , а ребро основания равно 4. Точка D — середина ребра BB1.

 

а) Докажите, что объемы пятигранников A1B1C1CD и ABCDA_1 равны.

 

б) Найдите объём пятигранника A1B1C1CD.

3.

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, AB=10 корень из (3) . Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1.

а) Докажите, что плоскость СPT делит высоту MD треугольника AMB в отношении 1:2, считая от точки M.

б) Вычислите объём пирамиды MPTC.

4.

Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3.

а) Докажите, что CT больше BP.

б) Вычислите объём пирамиды MPTA.

5.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8.

а) Докажите, что плоскость BDA_1 делит объем параллелепипеда в отношении 1:5.

б) Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.

6.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На ребрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK = B1L = 2. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

7.

В окружность нижнего основания цилиндра с высотой 2 вписан правильный треугольник ABC со стороной  корень из (3) . В окружность верхнего основания вписан правильный треугольник A1B1C1 так, что он повернут относительно треугольника ABC на угол 60°.

а) Докажите, что четырехугольник ABB1C1 — прямоугольник.

б) Найдите объем многогранника ABCA1B1C1.

8.

Дана треугольная пирамида ABCD объемом 40. Через вершину A и середину M ребра BC проведена плоскость, пересекающая ребро BD в точке N. Расстояние от вершины B до этой плоскости равно 4, а площадь треугольника AMN равна 5.

а) Докажите, что точка N делит ребро BD в отношении 1 : 2, считая от точки B.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC пирамиды, если дополнительно известно, что ребро BD перпендикулярно плоскости ABC и равно 15.