Решение.

а) Заметим, что расстояние между и равно расстоянию между прямой и плоскостью , то есть высоте CM треугольника ABC. Расстояние же между точкой A и плоскостью равно высоте того же треугольника ABC, проведенной из вершины A. Осталось заметить, что треугольник ABC равносторонний, поэтому его высоты равны.

б) Пусть CM — высота треугольника Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме и, значит, Пятигранник  — четырехугольная пирамида с вершиной в точке C и основанием  — прямоугольной трапецией. Высота пирамиды Площадь основания равна

Приведем другое решение.

Нетрудно заметить, что плоскость CDA₁ делит призму на два равных многогранника. Значит, объем каждого из них равен половине объема призмы. Отсюда получаем ответ.

Ответ: 3.

Решение. а) Заметим, что оба пятигранника являются четырехугольными пирамидами. Основания этих пирамид - равны прямоугольные трапеции. Высоты этих пирамид равны, так как это высоты равных равносторонних треугольников ABC и . Поэтому и объемы этих пирамид равны.

б) Пусть  — высота треугольника тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме и, значит, Пятигранник  — четырёхугольная пирамида с вершиной в точке и основанием  — прямоугольной трапецией.

Высота пирамиды Площадь основания равна

Ответ: 6.

Решение. а) Пусть плоскость CPT пересекает отрезок MD в точке E. Обозначим еще середину MB за F. Тогда E -- точка пересечения медиан треугольника PMF. Таким образом, ME составляет 2/3 высоты правильного треугольника PMF. Отсюда ME составляет 1/3 высоты правильного треугольника AMB. А это и требовалось доказать.

б) Проведём высоту CD треугольника В тоже время CD — высота пирамиды MPTC, опущенная из вершины C на плоскость основания

Площадь треугольника MPT составляет Следовательно,

Найдём объём пирамиды:

Ответ:

Решение. а) Заметим, что в треугольниках TBC и PCB углы B и С равны, сторона BC общая, и . Тогда, записывая теорему косинусов для сторон CT и BP этих треугольников, получаем искомое неравенство.

б) Проведём высоту AD треугольника В тоже время AD — высота пирамиды MPTA, опущенная из вершины A на плоскость основания

Площадь треугольника MPT составляет Следовательно,

Найдём объём пирамиды:

Ответ: 24.

Приведём другое решение пyнкта б):

где D — середина

Поскольку AD — медиана треугольника ABC, AD — его высота, значит, кроме того, (так как по условию ). Таким образом, то есть является высотой пирамиды

Ответ: 24.

Приведем решение пункта а) Евгения Железняк.

Пусть точка K — середина MB. Треугольники BKC и BPC равны, поскольку BK = CP, BC — общая, ∠PBC = ∠KCB, следовательно, CK = BP. В правильном треугольнике BMC отрезок CK является медианой, следовательно, и высотой. Тогда CK — перпендикуляр к прямой BM, проведенный из точки C, а CT — наклонная, следовательно, тогда

Решение. а) Одна из полученных частей это треугольная пирамида . Её высота равна высоте параллелепипеда, а площадь её основания равна половине площади основания параллелепипеда. Тогда в силу формулы объема пирамиды, получаем, что объем пирамиды относится к объему параллелепипеда как 1:6. А это эквивалентно тому, что требуется доказать.

б) Заметим, что Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании, равна половине произведения катетов:

Основание пирамиды лежит в плоскости поэтому высотой пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из точки M на эту плоскость. Опустим перпендикуляр ME на прямую Поскольку и в силу того, что отрезок ME является высотой пирамиды:

Треугольник AME подобен треугольнику значит,

Ответ: 50.

Решение. а) Так как плоскость γ параллельна прямой AC, она пересекает основание трапеции по прямым, параллельным AC. Пусть Прямые и AC параллельны. Сечением будет являться равнобедренная трапеция

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через медиану перпендикулярно основаниям трапеции. Оно будет являться прямоугольником где  — середина AC. Пусть это сечение пересекает плоскость γ по прямой ST, где S — середина а T — середина Точка O — точка пересечения прямых BM и ST. Заметим, что как медианы равностороннего треугольника. Так как треугольники и ABC подобны, Пусть  — проекция T на а  — проекция S на отсюда очевидно, что O — середина BM и середина ST. Далее:

То есть для треугольника BOT выполнена теорема, обратная теореме Пифагора. Следовательно, прямая BM перпендикулярна прямой ST. Кроме этого, BM перпендикулярна прямой следовательно, BM перпендикулярна плоскости γ, что и требовалось доказать.

б) Поскольку, из пункта а, прямая BM перпендикулярна плоскости γ, прямая  — высота пирамиды. Основанием является равнобедренная трапеция с высотой и основанием и отсюда:

Ответ:

Решение. а) Рассмотрим угол между прямыми AO и по условию, он равен 60°. При этом как центральный в равностороннем треугольнике. Значит, угол между AO и равен 180° или, иными словами, Очевидно, что следовательно, Кроме того, таким образом,  — параллелограмм. Пусть теперь, B' — проекция на нижнее основание. Так как отрезок  — диаметр, следовательно, угол ABB' — прямой. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, а  — прямоугольник.

б) Требуемый многогранник можно разбить на две равных четырехугольных пирамиды, общим основанием которых является прямоугольник а вершинами — точки и Одна из сторон основания — сторона треугольника Вторую сторону найдем из прямоугольного треугольника Отрезок является катетом прямоугольного треугольника с катетом и откуда Таким образом, а Осталось найти высоты пирамид.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра проходящее через точки C и Пусть MN — линия его пересечения с прямоугольником где M — середина AB, а N — Опустим на MN из перпендикуляр докажем, что это высота пирамиды, и найдем ее.

Заметим, что и следовательно, Отрезок AH лежит в плоскости значит, Кроме того, (по построению), тогда и является высотой пирамиды.

Точка является центром верхнего основания, следовательно, а Очевидно, что следовательно, а тогда то есть, по теореме теореме Пифагора, имеем откуда

Тогда

Ответ:

Решение. а) Вычислим объём пирамиды ABMN двумя способами:

Заметим теперь, что так как высоты этих пирамид, опущенные из вершины A, совпадают. Таким образом, При этом, по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом,

Следовательно, то есть

б) Так как из п. а) находим, что Вычислим объём ABMN третьим способом:

отсюда Пусть угол между плоскостями ABC и AMN равен α. Заметим, что треугольник AMB есть проекция треугольника AMN на плоскость ABC. Тогда откуда

Ответ: б)