СДАМ ГИА






Каталог заданий. Сложная планиметрия
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

В окруж­ность впи­сан че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку E и пер­пен­ди­ку­ляр­ная к AB, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке M. Из­вест­но, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 гра­ду­сов.

а) До­ка­жи­те, что EM — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CED.

б) Най­ди­те длину EM.

За­да­ние 0 № 505589


Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.
2

Через вер­ши­ны A и B тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой BC, а через вер­ши­ны B и C — дру­гая окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой AB. Про­дол­же­ние общей хорды BD этих окруж­но­стей пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AC в точке E, а про­дол­же­ние хорды AD одной окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ет дру­гую окруж­ность в точке F.

а) До­ка­зать, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABC и ABF равны.

б) Найти от­но­ше­ние AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

За­да­ние 0 № 505595


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.
3

Точки A, B, C лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 2 с цен­тром O, а точка K — на пря­мой, ка­са­ю­щей­ся этой окруж­но­сти в точке B, при­чем угол AKC равен 46°, а длины от­рез­ков AK, BK, CK об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию ( в ука­зан­ном по­ряд­ке).

а) До­ка­жи­те, что углы ACK и AOK равны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и C.

За­да­ние 0 № 505601


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.
4

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD,впи­сан­ном в окруж­ность, бис­сек­три­сы углов A и B пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, ле­жа­щей на сто­ро­не CD. Из­вест­но, что CD : BC = 3 : 2.

а) До­ка­зать, что рас­сто­я­ния от точки E до пря­мых AD и BC равны.

б) Найти от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков ADE и BCE.

За­да­ние 0 № 505607


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.
5

В тра­пе­ции ABCD с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AB = 8 и CD = 5 бис­сек­три­са угла B пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­сы углов A и C в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но, а бис­сек­три­са угла D пе­ре­се­ка­ет те же две бис­сек­три­сы в точ­ках L и K, при­чем точка L лежит на ос­но­ва­нии BC.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая MK про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB.

б) Найти от­но­ше­ние KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.

За­да­ние 0 № 505613


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 44.
6

В тре­уголь­ни­ке ABC угол В пря­мой, точка М лежит на сто­ро­не АС, при­чем Ве­ли­чи­на угла АВМ равна 60 гра­ду­сам, BM = 8.

а) Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ВАС;

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных во­круг тре­уголь­ни­ков ВСМ и ВАМ.

За­да­ние 0 № 505619


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.
7

Пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям BC и AD тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N. Диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны OA и OD тре­уголь­ни­ка AOD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что MK = NL.

б) Най­ди­те MN, если из­вест­но, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

За­да­ние 0 № 505625


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.
8

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точке A. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке B, а вто­рую — в точке C. Ка­са­тель­ная к пер­вой окруж­но­сти, про­хо­дя­щая через точку B, пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E (D лежит между B и E). Из­вест­но, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся от­рез­ка AD и про­дол­же­ний от­рез­ков ED и EA за точки D и A со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те длину от­рез­ка CE.

За­да­ние 0 № 505637


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.
9

Через вер­ши­ны B и C тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и M.

а) До­ка­зать, что тре­уголь­ни­ки ABC и AMK по­доб­ны.

б) Найти MK и AM, если AB = 2, BC = 4, CA = 5, AK = 1.

За­да­ние 0 № 505643


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.
10

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке KLMN точки A, B, C, D — се­ре­ди­ны сто­рон KL, LM, MN, NK со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что KL = 3. От­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков KAOD, LAOB и NDOC равны со­от­вет­ствен­но 6, 6 и 9.

а) До­ка­жи­те, что пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков MCOB и NDOC равны.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка MN.

За­да­ние 0 № 505649


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.
11

Бис­сек­три­са CD угла ACB при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC (AB = AC) делит сто­ро­ну AB так, что AD = BC = 2.

а) До­ка­жи­те, что CD = BC.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

За­да­ние 0 № 505655


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.
12

В тре­уголь­ни­ке KLM угол L тупой, а сто­ро­на KM равна 6. Центр O окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через вер­ши­ны K, M и точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка KLM лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM.

а) До­ка­жи­те, что угол KOM равен 120°.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM.

За­да­ние 0 № 505661


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 51.
13

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O и Q пе­ре­се­ка­ют­ся друг с дру­гом в точ­ках A и B, пе­ре­се­ка­ют бис­сек­три­су угла OAQ в точ­ках C и D со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки OQ и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, при­чем пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков OAE и QAE равны со­от­вет­ствен­но 18 и 42.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AQO и BDC по­доб­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка OAQD.

За­да­ние 0 № 505667


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.
14

В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды AC и BD, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке E, при­чем ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­хо­дя­щая через точку A, па­рал­лель­на BD. Из­вест­но, что CD : ED = 3 : 2, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABE равна 8.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABD — рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

За­да­ние 0 № 505679


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.
15

В тре­уголь­ни­ке ABC точка O — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, точка R лежит на от­рез­ке BC и BR = RC. Опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка BRO окруж­ность пе­ре­се­ка­ет AB в точке T. Из­вест­но, что угол BOR равен 30 гра­ду­сов, RT = 8, BT = 6.

а) До­ка­жи­те, что TR || AC.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

За­да­ние 0 № 505685


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.
16

В окруж­ность впи­сан че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку E и пер­пен­ди­ку­ляр­ная к AB, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке M.

а) До­ка­жи­те, что EM — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CED.

б) Най­ди­те EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB равен 60°.

За­да­ние 0 № 505691


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.
17

Дан квад­рат ABCD со сто­ро­ной 7. На сто­ро­нах BC и CD даны точки M и N такие, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка CMN равен 14.

а) До­ка­жи­те, что B и D — точки ка­са­ния внев­пи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка CMN, а ее центр на­хо­дит­ся в вер­ши­не A квад­ра­та ABCD.

б) Най­ди­те угол MAN.

За­да­ние 0 № 505697


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 57.
18

В окруж­ность ра­ди­у­са R впи­сан тре­уголь­ник ABC. Вто­рая окруж­ность ра­ди­у­са r, кон­цен­три­че­ская с пер­вой, ка­са­ет­ся одной сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка и делит каж­дую из двух дру­гих сто­рон на три рав­ные части.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те

 

По­яс­не­ние: кон­цен­три­че­ские окруж­но­сти — это окруж­но­сти, у ко­то­рых сов­па­да­ют цен­тры.

За­да­ние 0 № 505703


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.
19

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 12. На пря­мой АС взята точка D так, что точка С яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка AD. Точка K — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, пря­мая KD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке L.

a) До­ка­жи­те, что BL : LC = 2 : 1.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BLK.

За­да­ние 0 № 505727


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 62.
20

В тре­уголь­ни­ке АВС ос­но­ва­ние ВС = 9,5, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 28,5. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сред­ней линии, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию.

а) До­ка­жи­те, что АС + АВ = 3ВС.

б) Най­ди­те мень­шую из бо­ко­вых сто­рон.

За­да­ние 0 № 505733


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.
21

В тре­уголь­ни­ке АВС AB = BC = 10, AC = 12. Бис­сек­три­са угла ВАС пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке D и опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке P.

а) До­ка­жи­те, что ∠ABP = ∠BDP.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков ADB и BDP.

За­да­ние 0 № 505739


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 64.
22

Точка D делит сто­ро­ну AC в от­но­ше­нии AD : DC = 1 : 2.

а) До­ка­жи­те, что в тре­уголь­ни­ке ABD найдётся ме­ди­а­на, рав­ная одной из ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка DBC.

б) Най­ди­те длину этой ме­ди­а­ны в слу­чае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.

За­да­ние 0 № 505745


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 65.
23

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­нах AB, BC и CA от­ло­же­ны со­от­ветс­вен­но от­рез­ки

а) До­ка­жи­те, что где

б) Най­ди­те, какую часть от пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNK.

За­да­ние 0 № 505757


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.
24

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C про­ве­де­на вы­со­та CD. Ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.

а) До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков ACD и BCD, ACD и ABC.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

За­да­ние 0 № 505763


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.
25

Про­дол­же­ние ме­ди­а­ны AE тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке D.

а) До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков ABC и AEC, если AC = CD.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка BC, если длина каж­дой из хорд AC и DC равна 1.

За­да­ние 0 № 505769


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.
26

В тра­пе­ции ABCD AD и BC — ос­но­ва­ния, O — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

а) До­ка­жи­те, что вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

б) Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD, если

За­да­ние 0 № 505775


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.
27

Диа­метр AB и хорда CD окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, причём CE = DE. Ка­са­тель­ные к окруж­но­сти в точ­ках B и C пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. От­рез­ки AK и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

а) До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков ACE и OKB, где O — центр дан­ной окруж­но­сти.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKM, если AB = 10, AE = 1.

За­да­ние 0 № 505781


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.
28

В окруж­ность впи­сан четырёхуголь­ник ABCD, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку E и пер­пен­ди­ку­ляр­ная к AB, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке M.

а) До­ка­жи­те, что EM — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CED.

б) Най­ди­те EM, если AD = 8, AB =  и угол CDB = 60°.

За­да­ние 0 № 505787


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.
29

В тре­уголь­ни­ке KLM угол L тупой, а длина сто­ро­ны KM равна 6. На окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM, лежит центр окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через вер­ши­ны K, M и точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка KLM.

а) До­ка­жи­те, что угол KLM равен 120 гра­ду­сов.

б) Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM окруж­но­сти.

За­да­ние 0 № 505793


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.
30

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон угла с вер­ши­ной O в точ­ках A и B. На этой окруж­но­сти внут­ри тре­уголь­ни­ка AOB взята точка С. Из точки С на пря­мые OA, OB и AB опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры со­от­вет­ствен­но CK, CL и CM.

а) До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков AKC и BMC, AMC и BLC.

б) Най­ди­те CM, если CK = 4, CL = 9.

За­да­ние 0 № 505799


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.
31

Окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC, рав­ных со­от­вет­ствен­но 10 и 24.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC — пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те вы­со­ту, опу­щен­ную из вер­ши­ны пря­мо­го угла тре­уголь­ни­ка ABC.

За­да­ние 0 № 505805


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 75.
32

Дан квад­рат ABCD со сто­ро­ной 7. На сто­ро­нах BC и CD даны точки M и N такие, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка CMN равен 14.

а) До­ка­жи­те, что B и D — точки ка­са­ния внев­пи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка CMN, а её центр на­хо­дит­ся на вер­ши­не A квад­ра­та ABCD.

б) Най­ди­те угол MAN.

За­да­ние 0 № 505811


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 76.
33

В вы­пук­лом пя­ти­уголь­ни­ке ABCDE диа­го­на­ли BE и CE яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов при вер­ши­нах B и C со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что точка E есть центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти для тре­уголь­ни­ков OCB, где O — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CD и AB.

б) Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка ABCDE, если угол A равен 35°, угол D равен 145°, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCE равна 11.

За­да­ние 0 № 505817


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.
34

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны сто­ро­ны AB = 4, и BC = 5. На сто­ро­не AB взята точка D такая. что AD = 1.

а) До­ка­жи­те, что CD и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей. опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков BDC и ADC.

За­да­ние 0 № 505829


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.
35

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AD и CE, H — точка пе­ре­се­че­ния высот.

а) До­ка­жи­те, что точки A, E, D и С лежат на одной окруж­но­сти.

б) Из­вест­но, что ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен 2, а ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC равен 4. Най­ди­те угол ABC.

За­да­ние 0 № 505835


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.
36

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС, с ка­те­та­ми АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12 ). Пусть точка I – центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку I, па­рал­лель­на одной из сто­рон тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет две дру­гие сто­ро­ны в точ­ках К и Р. Най­ди­те длину от­рез­ка КР.

За­да­ние 0 № 505841


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.
37

Дан тре­уголь­ник ABC, где BA = 5, BC = 8. В тре­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны BC в точке Р. Из­вест­но, что ВР = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВМР, где М — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка АВС.

За­да­ние 0 № 505847


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.
38

Дан тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром В тре­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон AC, CB, BA в точ­ках K, T и M со­от­вет­ствен­но. Пря­мая AT пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке L, при­чем AL = 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, одна из сто­рон ко­то­ро­го AT, а дру­гая со­дер­жит точку ка­са­ния окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка АВС, если AK = 4.

За­да­ние 0 № 505861


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 3.
39

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся в точке O, при­чем ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O' боль­ше, чем ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O''. Пря­мая O'O'' пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке K (K от­лич­но от O). От­ре­зок O'K = a. Пря­мая t ка­са­ет­ся боль­шей окруж­но­сти в точке P так, что угол O''O'P — пря­мой. От­ре­зок PK = b. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка OO'P.

За­да­ние 0 № 505867


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.
40

Дан тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром АС = СВ, а синус угла С равен 1. Тре­уголь­ник ABD — рав­но­бед­рен­ный, с бо­ко­вой сто­ро­ной рав­ной 10. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС.

За­да­ние 0 № 505873


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.
41

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат за­да­на точка M (x; y), x > 0, y > 0. Дана окруж­ность с цен­тром в точке M ра­ди­у­са r, при­чем любая точка окруж­но­сти имеет по­ло­жи­тель­ные ко­ор­ди­на­ты. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку O (0; 0) и через точку M, пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках K и P, при­чем ор­ди­на­та точки K мень­ше, чем ор­ди­на­та точки P. Пря­мая, ко­то­рая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K, пе­ре­се­ка­ет пря­мые x = 0 и y = 0 в точ­ках A и B.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка OKB.

За­да­ние 0 № 505879


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.
42

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник MNK с ка­те­та­ми 5 и 12. Тре­уголь­ник KNJ — рав­но­сто­рон­ний, при­чем точка J и точка M ледат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой NK. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра впи­сан­ной окруж­но­сти в MNK до цен­тра впи­сан­ной в KNJ окруж­но­сти.

За­да­ние 0 № 505885


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.
43

Че­ты­рех­уголь­ник KLMN впи­сан в окруж­ность, его диа­го­на­ли KM и LN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F, при­чем KL = 8, MN = 4, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка MNF равен 9, пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLF равна Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KNF.

За­да­ние 0 № 505891


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.
44

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCDдиа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О, длина диа­го­на­ли BD равна 12. Рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков AOD и COD, равно 16. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AOB, равен 5. Найти пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

За­да­ние 0 № 505897


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.
45

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD = 6 и BC = 4 и диа­го­на­лью BD = 7 впи­са­на в окруж­ность. На окруж­но­сти взята точка К, от­лич­ная от точки D так, что BK = 7. Най­ди­те длину от­рез­ка АК.

За­да­ние 0 № 505909


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.
46

Найти вы­со­ту рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ную его бо­ко­вой сто­ро­не, рав­ной 2, если синус од­но­го его угла равен ко­си­ну­су дру­го­го.

За­да­ние 0 № 505915


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.
47

В тре­уголь­ни­ке АВС АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Во­круг этого тре­уголь­ни­ка опи­са­на окруж­ность S. Точка D яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной сто­ро­ны АС. По­стро­е­на окруж­ность S1, ка­са­ю­ща­я­ся окруж­но­сти S и от­рез­ка АС в точке D. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти S1.

За­да­ние 0 № 505927


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.
48

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCDбис­сек­три­сы углов при сто­ро­не ADделят сто­ро­ну BCточ­ка­ми M и Nтак, что Най­ди­те BC, если AB = 12.

За­да­ние 0 № 505933


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.
49

В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды KL, MN, PS. Хорды KL, PS пе­ре­се­ка­ют­ся в точке С, хорды KL, MN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке А, хорды MN и PS пе­ре­се­ка­ют­ся в точке В, при­чем AL = CK, AM = BN, BS = 5, BC = 4. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если ве­ли­чи­на угла ВАС равна 45 гра­ду­сам.

За­да­ние 0 № 505939


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.
50

В тра­пе­ции KLMN из­вест­ны бо­ко­вые сто­ро­ны KL = 36, MN = 34, верх­нее ос­но­ва­ние LM = 10 и Най­ди­те диа­го­наль LN.

За­да­ние 0 № 505945


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.
51

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Пря­мая ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке M и пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точ­ках A и B. Най­ди­те ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти, если из­вест­но, что AB = 12, MB = 6, а ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти равен 10.

За­да­ние 0 № 505951


Источник: Нерешенные задания
52

Диа­го­на­ли ACи BD тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Е. Найти пло­щадь тра­пе­ции, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка AED равна 9, а точка Е делит одну из диа­го­на­лей в от­но­ше­нии 1 : 3.

За­да­ние 0 № 505957


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 19.
53

Пло­щадь рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна Угол между диа­го­на­лью и ос­но­ва­ни­ем на 20 гра­ду­сов боль­ше угла между диа­го­на­лью и бо­ко­вой сто­ро­ной. Най­ди­те ост­рый угол тра­пе­ции, если ее диа­го­наль равна 2.

За­да­ние 0 № 505963


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.
54

На бо­ко­вой сто­ро­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность, де­ля­щая вто­рую бо­ко­вую сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные 1 и 2. Най­ди­те ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка.

За­да­ние 0 № 505969


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.
55

Две окруж­но­сти ра­ди­у­сов R и r (R > r) ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей, ка­са­ю­щих­ся обеих дан­ных окруж­но­стей и пря­мой, про­хо­дя­щей через цен­тры дан­ных.

За­да­ние 0 № 505975


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 22.
56

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точка M лежит на диа­го­на­ли BD и делит ее в от­но­ше­нии 2 : 3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCM равна 60.

За­да­ние 0 № 505981


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.
57

Ра­ди­ус опи­сан­ной около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти равен 25, а впи­сан­ной в него окруж­но­сти — 12. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка.

За­да­ние 0 № 505987


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 24.
58

В окруж­ность ра­ди­у­са впи­са­на тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 2 и 4. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции.

За­да­ние 0 № 505993


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 25.
59

Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 112. Точка ка­са­ния впи­сан­ной в тра­пе­цию окруж­но­сти делит одну из бо­ко­вых сто­рон на от­рез­ки, рав­ные 8 и 18. Най­ди­те ос­но­ва­ния этой тра­пе­ции.

За­да­ние 0 № 505999


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 26.
60

Найти длины сто­рон AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC, если BC = 8, а длины высот, про­ве­ден­ных к AC и BC, равны со­от­вет­ствен­но 6,4 и 4.

За­да­ние 0 № 506011


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 28.
61

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 2 и 1 ка­са­ют­ся в точке A. Най­ди­те сто­ро­ну рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка, одна из вер­шин ко­то­ро­го на­хо­дит­ся в точке A, а две дру­гие лежат на раз­ных окруж­но­стях.

За­да­ние 0 № 506017


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.
62

Длины со­сед­них сто­рон впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка от­ли­ча­ют­ся на 1. Длина наи­мень­шей из них также равна 1. Найти ра­ди­ус окруж­но­сти.

За­да­ние 0 № 506023


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.
63

Пусть O — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, угол AOC равен 60 гра­ду­сов. Най­ди­те угол AMC, где M — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

За­да­ние 0 № 506029


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 31.
64

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 3 и 8 ка­са­ют­ся друг друга. Через центр одной из них про­ве­де­ны две пря­мые, каж­дая из ко­то­рых ка­са­ет­ся дру­гой окруж­но­сти (точки A и B — точки ка­са­ния). Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B.

За­да­ние 0 № 506041


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 33.
65

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC на пря­мой BC от­ме­че­на точка D так, что угол CAD равен углу ABD. Най­ди­те длину от­рез­ка AD, если бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка ABC равна 5, а его ос­но­ва­ние равно 6.

За­да­ние 0 № 506065


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 37.
66

Диа­го­на­ли тра­пе­ции равны 13 и а вы­со­та равна 5. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

За­да­ние 0 № 506071


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.
67

На окруж­но­сти ра­ди­у­са 3 с цен­тром в вер­ши­не остро­го угла А пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС взята точка Р. Из­вест­но, что АС = 3, ВС = 8, а тре­уголь­ни­ки АРС и АРВ рав­но­ве­ли­ки. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки Р до пря­мой ВС, если из­вест­но, что оно боль­ше 2.

За­да­ние 0 № 506077


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 39.
68

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

За­да­ние 0 № 506083


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.
69

В тра­пе­ции ABCD AD || BC, AB = 2 и E — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­три­сы угла BAD и пря­мой BC. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABE, ка­са­ет­ся сто­рон AB и BE в точ­ках M и H со­от­вет­ствен­но, MH = 1.

а) До­ка­жи­те, что MH || AE;

б) Най­ди­те угол BAD.

За­да­ние 0 № 508089


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.
70

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD за­клю­че­ны две окруж­но­сти оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са r, ка­са­ю­щи­е­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом. Центр пер­вой окруж­но­сти на­хо­дит­ся на от­рез­ке, со­еди­ня­ю­щем вер­ши­ну A с се­ре­ди­ной F сто­ро­ны CD, а центр вто­рой окруж­но­сти на­хо­дит­ся на от­рез­ке, со­еди­ня­ю­щем вер­ши­ну C с се­ре­ди­ной E сто­ро­ны AB. Пер­вая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB, AD и CD, вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB, BC и CD.

а) До­ка­жи­те, что AB || CD;

б) Най­ди­те АС, если r = 2.

За­да­ние 0 № 508104


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.
71

Хорда AB стя­ги­ва­ет дугу окруж­но­сти, рав­ную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1,

а) До­ка­жи­те, что угол ADC равен

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

За­да­ние 0 № 508110


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87.
72

В тре­уголь­ни­ке ABC точка О — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, точка K лежит на от­рез­ке BC, при­чем BК = КC. Опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка BKO окруж­ность пе­ре­се­ка­ет AB в точке T.

а) До­ка­жи­те, что TK || АС.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что угол BOK равен 30°, КT = 8, ВТ = 6.

За­да­ние 0 № 508116


Источник: Нерешенные задания
73

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC AC — ос­но­ва­ние. На про­дол­же­нии сто­ро­ны CB за точку В от­ме­че­на точка D так, что угол CAD равен углу ABD.

а) До­ка­жи­те, что AB бис­сек­три­са угла CAD.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка AD, если бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка АВС равна 5, а его ос­но­ва­ние равно 6.

За­да­ние 0 № 508124


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.
74

Бис­сек­три­сы AN и BMтре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О, при­чем В че­ты­рех­уголь­ник ONCM впи­са­на окруж­ность.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

За­да­ние 0 № 508133


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.
75

В тра­пе­ции ABCD ВС и AD — ос­но­ва­ния. Бис­сек­три­са угла А пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в ее се­ре­ди­не — точке Р.

а) До­ка­жи­те, что ВР – бис­сек­три­са угла АВС.

б) Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABCD, если из­вест­но, что AP = 8, BP = 6.

За­да­ние 0 № 508139


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.
76

В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­рое ВС вы­бра­на точка К так, что СК : ВК = 1 : 2. Точка Е — се­ре­ди­на сто­ро­ны АВ. От­ре­зок СЕ и АК пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Р.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ВРС и АРС имеют рав­ные пло­ща­ди.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВР, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 120.

За­да­ние 0 № 508151


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.
77

В окруж­ность впи­сан че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Е. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку Е и пер­пен­ди­ку­ляр­ная к АВ, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке М.

а) До­ка­жи­те, что ЕМ — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка CЕD.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.

За­да­ние 0 № 508157


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 96.
78

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке А. Пря­мая l ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке В, а вто­рой — в точке С.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей 8 и 2.

За­да­ние 0 № 508163


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.
79

В пря­мо­уголь­ном не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC из вер­ши­ны С пря­мо­го угла про­ве­де­ны вы­со­та CH, ме­ди­а­на СМ и бис­сек­три­са СL.

а) До­ка­жи­те, что СL яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла MCH.

б) Най­ди­те длину бис­сек­три­сы СL, если СН = 3, СМ = 5.

За­да­ние 0 № 508169


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.
80

Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пря­мые BE и АС вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а) До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков АОВ и СОЕ равны.

б) Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если AB = 3, BC = 4.

За­да­ние 0 № 508175


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.
81

Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС впи­сан в окруж­ность. На окруж­но­сти от­ме­че­на точка М, не сов­па­да­ю­щая ни с одной из точек А, В и С.

а) До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от точки М до одной из вер­шин тре­уголь­ни­ка равно сумме рас­сто­я­ний до двух дру­гих вер­шин.

б) Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках А, В, С и М, если из­вест­но, что пло­щадь равна  а ра­ди­ус окруж­но­сти равен

За­да­ние 0 № 508187


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.
82

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны АВ па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AD и ВС в точ­ках М и N со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны С и D.

а) До­ка­жи­те, что DN = CM.

б) Най­ди­те DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.

За­да­ние 0 № 508193


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.
83

О — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD. Пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков AOBBOC, COD и DOА равны между собой.

А) До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность.

Б)  Най­ди­те  ра­ди­ус  окруж­но­сти,  впи­сан­ной в тре­уголь­ник DOA, если  ра­ди­у­сы  окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки AOBBOC и COD равны со­от­вет­ствен­но 3, 4 и 6.

За­да­ние 0 № 508205


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.
84

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­ты AA1 и CC1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

А) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AOC и C1OA1 по­доб­ны.

Б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ACA1C1, если из­вест­но, что угол ABC равен 30°, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 80.

За­да­ние 0 № 508596


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101.
85

CA и СВ — ка­са­тель­ные к окруж­но­сти в точ­ках А и В со­от­вет­ствен­но, АD — её диа­метр. Пря­мые ВD и АС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

А) До­ка­жи­те, что точка С – се­ре­ди­на от­рез­ка АЕ.

Б) Най­ди­те сумму ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в  тре­уголь­ни­ки ABEABD и AED, если из­вест­но, что ВA = 12.

За­да­ние 0 № 508603


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.
86

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке АВС (АВ = ВС) про­ве­де­ны бис­сек­три­сы АК, ВМ, СР.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник КМР — рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка КМР, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 64, а ко­си­нус угла ВАС равен 0,3.

За­да­ние 0 № 508614


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.
87

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 72, а сумма длин сто­рон АС и ВС равна 24.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, впи­сан­но­го в тре­уголь­ник АВС, если из­вест­но, что две вер­ши­ны этого квад­ра­та лежат на сто­ро­не АВ.

За­да­ние 0 № 508621


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.
88

Диа­го­на­ли рав­но­бо­кой тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом. ВН — вы­со­та к боль­ше­му ос­но­ва­нию CD, EF — сред­няя линия тра­пе­ции.

а) До­ка­жи­те, что BH = DH.

б) Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если EF = 5.

За­да­ние 0 № 508634


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.
89

Во­круг вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми a, b, c, d опи­са­на окруж­ность.

а) До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние его диа­го­на­лей вы­ра­жа­ет­ся как

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, если a = 2, b = 8, c = 12, d = 4.

За­да­ние 0 № 508641


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.
90

Тра­пе­ция ABCD с уг­ла­ми при одном ос­но­ва­нии и опи­са­на около круга.

а) До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­ди тра­пе­ции к пло­ща­ди круга вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

б) Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции если а пло­щадь впи­сан­но­го круга равна

За­да­ние 0 № 508648


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.
91

Пря­мая p, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям BC и AD тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые AB, AC, BD и CD в точ­ках E, F, G и H со­от­вет­ствен­но, причём EF = FG.

а) До­ка­жи­те, что точки пе­ре­се­че­ния пря­мой p с диа­го­на­ля­ми AC и BD делят от­ре­зок на три рав­ных части;

б) Най­ди­те EF, если BC = 3, AD = 4.

За­да­ние 0 № 508747


Источник: Нерешенные задания
92

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD Впи­сан в окруж­ность. Точка Х лежит на его сто­ро­не AD, при­чем ВХ || CD и CX || BA, и DX = 6.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки АВХ и ВХС по­доб­ны.

б) Най­ди­те ВС.

За­да­ние 0 № 508756


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 89.
93

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AM и CN.

А) До­ка­жи­те, что углы ACB и MNB равны.

Б) Вы­чис­ли­те длину сто­ро­ны АС, если из­вест­но, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 25 см, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка BMN равен 15 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMN равен 3 см.

За­да­ние 0 № 508953


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.
94

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы AB в точке K, а ка­те­тов — в точ­ках P и M.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна AK · BK.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PKM, если из­вест­но, что AK = 12, BK = 5.

За­да­ние 0 № 511212


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.
95

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ка­те­та­ми AC = 3 и BC = 2 про­ве­де­ны ме­ди­а­на CM и бис­сек­три­са CL.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка CML со­став­ля­ет одну де­ся­тую часть от пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те угол MCL.

За­да­ние 0 № 511219


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.
96

а) До­ка­жи­те, что в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сумма длин диа­мет­ров впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей равна сумме длин ка­те­тов.

б) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC из вер­ши­ны пря­мо­го угла про­ве­де­на вы­со­та CH. Най­ди­те сумму длин ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ABC, ACH и BCH, если из­вест­но, что

За­да­ние 0 № 511226


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.
97

К двум окруж­но­стям с цен­тра­ми O1 и O2 и ра­ди­у­са­ми 6 и 3 про­ве­де­ны три общие ка­са­тель­ные: одна внут­рен­няя и две внеш­них. Пусть A и B — точки пе­ре­се­че­ния общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной с об­щи­ми внеш­ни­ми.

а) До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка O1AO2B можно опи­сать окруж­ность.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей с их общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной, если из­вест­но, что O1O2 = 15.

За­да­ние 0 № 511233


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.
98

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC синус угла A равен На ги­по­те­ну­зе AB взята точка H, а на ка­те­те AC — точка K. Из­вест­но, что пря­мая KH пер­пен­ди­ку­ляр­на ги­по­те­ну­зе и делит тре­уголь­ник ABC на две рав­но­ве­ли­кие части.

а) До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ник KHBC можно впи­сать окруж­ность.

б) Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если из­вест­но, что KH = 1.

За­да­ние 0 № 511240


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.
99

Точка M лежит на диа­мет­ре AB окруж­но­сти с цен­тром О. С и D — точки окруж­но­сти, рас­по­ло­жен­ные по одну сто­ро­ну от AB, при­чем ∠CMA = ∠DMB.

а) До­ка­жи­те, что ∠OCM = ∠ODM.

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка COMD, если из­вест­но, что OM = 4, BM = 2, ∠CMA = ∠DMB = 45°.

За­да­ние 0 № 511247


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.
100

На сто­ро­нах пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, как на диа­мет­рах, по­стро­е­ны по­лу­окруж­но­сти w, w1 и w2. (рис.).

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна сумме пло­ща­дей двух лу­но­чек, огра­ни­чен­ных по­лу­окруж­но­стя­ми w и w1 и по­лу­окруж­но­стя­ми w и w2.

б) Пусть пря­мая l ка­са­ет­ся w1 в точке M, а w2 в точке P. Най­ди­те длину от­рез­ка MP, если из­вест­но, что сумма пло­ща­дей двух лу­но­чек равна 49.

За­да­ние 0 № 511254


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.
101

Че­ты­рех­уголь­ник ABDC впи­сан в окруж­ность. Пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а) До­ка­жи­те, что AD · BP = BC · DP.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APC, если из­вест­но, что BD = 2 · AC, а пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABDC равна 36.

За­да­ние 0 № 511261


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.
102

В тра­пе­ции па­рал­лель­но ос­но­ва­ни­ям про­ве­де­ны че­ты­ре от­рез­ка с кон­ца­ми на бо­ко­вых сто­ро­нах: KL, MN, RS и TQ. Из­вест­но, что пер­вый от­ре­зок про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции, вто­рой — делит ее на два по­доб­ных че­ты­рех­уголь­ни­ка, тре­тий — со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон, чет­вер­тый раз­би­ва­ет тра­пе­цию на две рав­но­ве­ли­кие части.

а) Най­ди­те длины этих от­рез­ков.

б) До­ка­жи­те, что KL < MN < RS < TQ.

За­да­ние 0 № 511264


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.
103

В рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD впи­са­на окруж­ность. Вто­рая окруж­ность, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не AB как на диа­мет­ре, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние AD в точке H.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник CHD рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те ос­но­ва­ния тра­пе­ции, если ра­ди­у­сы пер­вой и вто­рой окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 6 и 6,5.

За­да­ние 0 № 511268


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.
104

В рав­но­бо­кой опи­сан­ной тра­пе­ции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — ос­но­ва­ния, про­ве­де­ны: 1) бис­сек­три­са угла B; 2) вы­со­та из вер­ши­ны С; 3) пря­мая, па­рал­лель­ная AB и про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ну от­рез­ка CD.

а) До­ка­жи­те, что все они пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тра­пе­ции ABCD, если из­вест­но, что BC = 8, AD = 18.

За­да­ние 0 № 511275


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.
105

Около окруж­но­сти опи­са­на рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD. E и K — точки ка­са­ния этой окруж­но­сти с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AD и BC. Угол между ос­но­ва­ни­ем AB и бо­ко­вой сто­ро­ной AD тра­пе­ции равен 60°.

а) До­ка­жи­те, что EK па­рал­лель­но AB.

б) Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABKE, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

За­да­ние 0 № 511282


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.
106

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ну С пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке M и ка­са­ет­ся сто­ро­ны AD в точке K.

А) До­ка­жи­те, что угол CKD равен углу KMD.

Б) Най­ди­те сто­ро­ну AB, зная, что AD = 18, DM = 4.

За­да­ние 0 № 511832


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.
107

В тра­пе­ции ABCD пло­ща­дью, рав­ной 30, диа­го­на­ли АС и BDвза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а ∠BAC = ∠CDB. Про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

А) До­ка­жи­те, что тра­пе­ция ABCD — рав­но­бед­рен­ная.

Б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AD, если из­вест­но, что ∠ AKD=30°, а BC < AD.

За­да­ние 0 № 511839


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.
108

В че­ты­рех­уголь­ник ABCD бис­сек­три­са угла С пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке M, а бис­сек­три­са угла А пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K. Из­вест­но, что AKCM — па­рал­ле­ло­грамм.

а) До­ка­жи­те, что ABCD — па­рал­ле­ло­грамм.

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диа­го­на­ля­ми AC и BD равен 60°.

За­да­ние 0 № 511864


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.
109

Через вер­ши­ны А и С пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC (∠B = 90°) про­ве­де­на окруж­ность с цен­тром в точке О, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой AB и пе­ре­се­ка­ю­щая про­дол­же­ние сто­ро­ны BC в точке E.

а) До­ка­жи­те, что сумма углов AOE и AOC равна 180°.

б) Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти, если из­вест­но, что BE = 5, AC = 6.

За­да­ние 0 № 511879


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.
110

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са CM, ка­са­тель­ная к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, про­хо­дя­щая через точку C, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке P.

А) До­ка­жи­те, что BC : AC = CP : AP.

Б) Най­ди­те длину CP, если из­вест­но, что AM = 5, BM = 4.

За­да­ние 0 № 511886


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.
111

В па­рал­ле­ло­грам­ме (от­лич­ном от ромба) про­ве­де­ны бис­сек­три­сы че­ты­рех углов.

А) До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ни­ке, огра­ни­чен­ном бис­сек­три­са­ми, диа­го­на­ли равны.

Б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го бис­сек­три­са­ми, если из­вест­но, что сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 3 и 5 , а угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°.

За­да­ние 0 № 511893


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.
112

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках А и В. Через точку А про­ве­де­ны диа­мет­ры АС и АD этих окруж­но­стей.

а) До­ка­жи­те, что точки DВ и С лежат на одной пря­мой.

б) Най­ди­те про­из­ве­де­ние  АD ∙ АС, если из­вест­но, что АВ = 8, а диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АDС, равен 10.

За­да­ние 0 № 511900


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.
113

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны ме­ди­а­ны АМ и ВК. Из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка АВМК можно опи­сать окруж­ность.

А) До­ка­жи­те, что СК = СМ.

Б) Пусть АВ = 2. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около че­ты­рех­уголь­ни­ка.

За­да­ние 0 № 511918


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.
114

Окруж­ность ω1 с цен­тром O1 и окруж­ность ω2 с цен­тром O2 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Из точки O1 к ω2 про­ве­де­на ка­са­тель­ная O1A, а из точки O2 к ω1 про­ве­де­на ка­са­тель­ная O1B (А и В — точки ка­са­ния).

А) До­ка­жи­те, что углы O1AB и O1O2B равны.

Б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка O1O2AB, если из­вест­но, что точки ка­са­ния А и В лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой O1O2, а ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 2 и 3.

За­да­ние 0 № 512004


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.
115

Дан тре­уголь­ник ABC. В нем про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AM и BN, каж­дая из ко­то­рых равна

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если его ос­но­ва­ние равно 132.

За­да­ние 0 № 512426


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.
116

Внут­ри рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC в про­из­воль­ном месте по­став­ле­на точка M.

а) До­ка­жи­те, что сумма рас­сто­я­ний от точки M до сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC равна вы­со­те этого тре­уголь­ни­ка.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до сто­ро­ны AB, если рас­сто­я­ние от точки M до сто­рон AC и BC со­от­вет­ствен­но равны и а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна

За­да­ние 0 № 512433


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.
117

Даны тре­уголь­ни­ки ABC и A1B1C1. Пря­мые AA1, BB1, CC1 пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Пря­мые AB и A1B1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке C2. Пря­мые АС и AC1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B2. Пря­мые BC и B1C1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A2.

а) До­ка­жи­те, что точки A2, B2, C2 лежат на одной пря­мой.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка A1B1C1 и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC, если вы­со­ты тре­уголь­ни­ка ABC равны а вы­со­ты тре­уголь­ни­ка A1B1C1 равны

За­да­ние 0 № 512440


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.
118

Точка лежит на сто­ро­не ВС тре­уголь­ни­ка АВС.

а) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если из­вест­но, что

За­да­ние 0 № 512447


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.
119

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны.

а) До­ка­жи­те, что точки A и D оди­на­ко­во уда­ле­ны от пря­мой ВС.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB, если из­вест­но, что AB = 13, BC = 10, CD = 15, DA = 24.

За­да­ние 0 № 512454


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.
120

Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC и три оди­на­ко­вые окруж­но­сти рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что каж­дая окруж­ность ка­са­ет­ся двух сто­рон тре­уголь­ни­ка и двух дру­гих окруж­но­стей.

а) До­ка­жи­те, что точки по­пар­но­го ка­са­ния окруж­но­стей яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­стей, если из­вест­но, что AB = 4.

За­да­ние 0 № 512461


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.
121

На ос­но­ва­нии AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC взята точка E. Окруж­но­сти w1 и w2, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABE и CBE, ка­са­ют­ся пря­мой BE в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что

б) Опре­де­ли­те, на сколь­ко ра­ди­ус окруж­но­сти w2  боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти w1, если  из­вест­но,  что  AE = 9,  СЕ = 15, а ра­ди­ус впи­сан­ной в  тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти равен 4. 

За­да­ние 0 № 512468


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.
122

В ост­ро­уголь­ном не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AA1 и 

CC1. Точки A2 и C2 сим­мет­рич­ны се­ре­ди­не сто­ро­ны  AC от­но­си­тель­но пря­мых BC и AB со­от­вет­ствен­но.  

а) До­ка­жи­те, что от­рез­ки A1A2 и C1С2 лежат на па­рал­лель­ных пря­мых.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A2 и C2, если из­вест­но, что AB = 7, BC = 6, CA = 5.  

За­да­ние 0 № 512651


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.
123

Из точки M, взя­той на окруж­но­сти с цен­тром в точке О, на диа­мет­ры AB и СD опу­ще­ны  пер­пен­ди­ку­ля­ры MK и MP со­от­вет­ствен­но.  

а) До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет точка, оди­на­ко­во удалённая от точек M, О, P, K

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MKP, если из­вест­но, что ∠MKP = 30°, ∠AOC = 15°, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 4. 

За­да­ние 0 № 512664


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.
124

В ромб впи­са­на окруж­ность Θ. Окруж­но­сти w1 и w2 (раз­но­го ра­ди­у­са) рас­по­ло­же­ны так, что каж­дая ка­са­ет­ся окруж­но­сти Θ и двух со­сед­них сто­рон ромба. 

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь круга, огра­ни­чен­но­го окруж­но­стью Θ, со­став­ля­ет менее 80% пло­ща­ди ромба.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей w1 и w2, если из­вест­но, что диа­го­на­ли ромба от­но­сят­ся, как 1 : 2. 

За­да­ние 0 № 512672


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.
125

В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды АС и ВD, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке О, при­чем ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­хо­дя­щая через точку С, па­рал­лель­на ВD.

а) До­ка­жи­те, что DC2 = АС ∙ СО.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка СDО, если из­вест­но, что AB : ВО = 3 : 1, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка АСD равна 36.

За­да­ние 0 № 513207


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.
126

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не AB от­ме­че­на точка E, при этом BE = 4, EA = 5, BC = 6. 

а) До­ка­жи­те, что углы ВАС и BCE равны. 

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEC, если из­вест­но, что угол ABC равен 30°. 

За­да­ние 0 № 513214


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.
127

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке А так, что мень­шая окруж­ность про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке K. Пря­мые AB и АС вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках P и M со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что PM || BC.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если PM = 12, а ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 20. 

За­да­ние 0 № 513221


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.
128

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC со­от­вет­ствен­но в точ­ках D и E, точки A, D, E, C лежат на одной окруж­но­сти.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те длину вы­со­ты тре­уголь­ни­ка ABC, опу­щен­ной из точки А, если сто­ро­ны AB и АС равны со­от­вет­ствен­но 5 и 2. 

За­да­ние 0 № 513766


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.
129

В окруж­ность ра­ди­у­са R впи­сан че­ты­рех­уголь­ник ABCDP — точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей, AB = CD = 5, AD > BC. Вы­со­та, опу­щен­ная из точки В на сто­ро­ну AD, равна 3, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADP равна 

а) До­ка­жи­те, что ABCD — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция 

б) Най­ди­те сто­ро­ны ADBC и ра­ди­ус окруж­но­сти R.

За­да­ние 0 № 513773


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.
130

Через вер­ши­ны А, В, С па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD со сто­ро­на­ми AB = 3 и BC = 5 про­ве­де­на окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мую BD в точке E, при­чем BE = 9.  

а) До­ка­жи­те, что BE > BD.

б) Най­ди­те диа­го­наль BD.

За­да­ние 0 № 513780


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.
131

Окруж­но­сти ω1 и ω2 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. A1A2 и B1B2 — их общие внеш­ние ка­са­тель­ные (A1 и B1 — точки ка­са­ния с ω1, A2 и B2 — точки ка­са­ния с ω2).

а) До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между хор­да­ми A1B1 и A2B2 равно сред­не­му гар­мо­ни­че­ско­му диа­мет­ров окруж­но­стей. (сред­ним  гар­мо­ни­че­ским двух по­ло­жи­тель­ных чисел а и b на­зы­ва­ет­ся зна­че­ние вы­ра­же­ния 

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка A1А2B2В1, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 9 и 4.

За­да­ние 0 № 513794


Источник: Нерешенные задания
132

На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма AВCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N, при­чем ВN : NC = 1 : 3. Ока­за­лось, что пря­мые AN и АС раз­де­ли­ли от­ре­зок BM на три рав­ные части. 

а) До­ка­жи­те, что точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны АD па­рал­ле­ло­грам­ма.

б) Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если из­вест­но, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го пря­мы­ми АNBM и BD равна 16. 

За­да­ние 0 № 514054


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.
133

В рав­но­бо­кую тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность. 

а) До­ка­жи­те, что диа­метр окруж­но­сти равен сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции. (Сред­ним  гео­мет­ри­че­ским двух по­ло­жи­тель­ных чисел а и b на­зы­ва­ет­ся зна­че­ние вы­ра­же­ния 

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми тра­пе­ции, если из­вест­но, что длины ос­но­ва­ний тра­пе­ции 8 и 18.

За­да­ние 0 № 514061


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.
134

а) До­ка­жи­те, что ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, равен по­ло­ви­не раз­но­сти суммы ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в  тре­уголь­ни­ки, на ко­то­рые он де­лит­ся вы­со­той, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе, равны 4 и 5. 

За­да­ние 0 № 514068


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.
135

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ω, ка­са­ю­ща­я­ся ги­по­те­ну­зы AB в точке M. Точка О — центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти ω, про­ве­ден­ная из точки О, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке P.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна про­из­ве­де­нию длин от­рез­ков AM и BM.

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BCPO, если из­вест­но, что AM = 12, BM = 5.

За­да­ние 0 № 514075


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.
136

Ме­ди­а­на AA1 и BB1 тре­уголь­ни­ка ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а) До­ка­жи­те, что CO = AB.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что AC = 4, BC = 3.

За­да­ние 0 № 514570


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 156.
137

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD точки K, M, P, E — се­ре­ди­ны сто­рон AB, BC, CD, и DA со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка KMPE равна по­ло­ви­не пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка ABCD.

б) Най­ди­те боль­шую диа­го­наль четырёхуголь­ни­ка KMPE, если из­вест­но, что AC = 6, BD = 8, а сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AKE и CMP равна

За­да­ние 0 № 514577


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.
138

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AA1 и BB1.

а) До­ка­жи­те, что угол между бис­сек­три­са­ми AA1 и BB1 равен

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABA1B1, если из­вест­но, что AC = 4, AB = 5, BC = 6.

За­да­ние 0 № 514584


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.
139

Точка O — се­ре­ди­на от­рез­ка AC. На от­рез­ках AC и AO, как на диа­мет­рах, по­стро­е­ны две окруж­но­сти. Хорда CK одной из них ка­са­ет­ся дру­гой окруж­но­сти в точке P.

а) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKC, если из­вест­но. что OC = 3.

За­да­ние 0 № 514591


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.
140

Три окруж­но­сти, две из ко­то­рых оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са, по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точ­ках A, B и C.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус круга, впи­сан­но­го в четырёхуголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B, C, O, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей 6; 6 и 4, а точка O — центр мень­шей из них.

За­да­ние 0 № 514598


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика