1. Задание 15 № 505567
Решите неравенство: 
Решение.
Областью определения неравенства являются положительные числа, отличные от 0,25 и 1. Выражение 
либо равно нулю при 
при этом неравенство верно; либо положительно, и тогда на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Имеем:
Учитывая, что 
, получаем ответ: 
Ответ:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
505567
Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Модуль числа, Неравенства с логарифмами по переменному основанию
Классификатор базовой части: 2.2.9 Метод интервалов
и 
то есть при 
и 
При этих условиях получаем:
тогда 
или 
Из полученного набора нужно ещё исключить точку 8. Получаем 
тогда 
тогда неравенство принимает вид 
Тогда 
или 
то
или 
то
или 
или 
тогда 
и, следовательно, 
откуда 
, из второго − 
, третий не дает корней.
совпадает со знаком выражения 
Знак множителя 
совпадает со знаком выражения 
которое на области определения неравенства всегда положительно.
получаем: 
то
то
Напомним, что области определения неравенство 
равносильно неравенству 
или 
, откуда находим решение неравенства: 
, получаем: 
получаем 
или 
получаем: 
получаем 
при всех 
При условиях 
и 
методом рационализации получаем неравенство
или 
при всех 
исходное неравенство эквивалентно
получаем: 
или 
получаем: 
или 
или 
Преобразуем неравенство:
имеем:
или 
откуда получаем множество решений неравенства: 
:
, получаем: 
и 
неравенство равносильно неравенству: 
получаем: 
получаем множество решений неравенства: 
к десятичному логарифму. Заметим, что при 
можно произвести следующие преобразования:
и 
исходное неравенство равносильно неравенству:
получаем: 
получаем решение исходного неравенства: 
или 
или 
Тогда имеем систему:
Тогда имеем систему:
Тогда имеем систему
Тогда имеем систему:
Полученные значения переменной удовлетворяют условию 
Имеем:
, получаем: 
Решение неравенства: 
получаем: 
Множество решений второго неравенства исходной системы: 
при которых определено неравенство: 
Получаем, что 
Тогда
следовательно, при 
исходное неравенство верно.
и 
Рассмотрим два случая. 
Тогда
Получаем, что 
следовательно, при 
и 
Получаем, что 
Тогда:
следовательно, при 
неравенство верно.
то
то
или 
или 
откуда 
или 
получаем: 
или 
получаем: 
или 
или 
и 
а значит, 
и 
или 
откуда находим решение неравенства: 
или 
тогда неравенство примет вид: 
и 
Первое неравнство верно при 
При этих значениях переменной числитель дроби во втором неравенстве положителен, значит, положителен и знаменатель. Следовательно, 
При 
эта сумма больше 1. Тогда и основание, и аргумент выражения 
больше 1, а значит, левая часть исходного неравенства положительна. Тогда положительна и правая часть, откуда 
обе части неравенства положительны, а аргументы логарифмов равны и больше 1. Значит, основание логарифма, стоящего в левой части неравенства, не меньше основания логарифма, стоящего в правой. На луче 
имеем:
то: 
и 
откуда 
Получаем: 
Тогда
Получаем: 
Тогда
Пусть 
тогда: 
Теперь перейдем к переменной x.
Получаем 
откуда z > 0. Обратная замена:
Получаем 
получим 
Определим область допустимых значений:
где множитель 
можно сразу отбросить, получим
тогда 
Решим неравенство методом интервалов:
это выражение должно быть положительно и отлично от 1. Находим: 
откуда 
Упростим неравенство: 
причем равенство достигается только при 
получаем: 
Это выражение больше 1 при всех допустимых 
откуда 
Учитывая, что 
и 
и обращается в ноль только при 
то есть и 
при 
при 
и 
и 
при 
то есть 
при 
имеем:
или 
и приведем левую часть к общему знаменателю:
Возвращаясь к переменной 
, находим множество решений исходного неравенства: 
откуда получаем 
и данное неравенство равносильно неравенству
где 
получаем неравенство 
Заметим, что при 
функция 
возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и 
Таким образом, множество решений этого неравенства является луч 
откуда получаем 
и данное неравенство равносильно неравенству
где 
Заметим, что при 
возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и 
и 
имеют одинаковые знаки. Поэтому при условиях 
при любых значениях x. Значит, выражение 
положительно при 
отрицательно при 
и не определено при 
и 
положительно, а при 
исходное неравенство равносильно неравенству 
откуда 
Таким образом, решение исходного неравенства: 
при 
получаем систему:
или 
и что 
поэтому первое слагаемое равно 42 = 16. Имеем:
при всех 
следует, что 
поскольку основание этого логарифма больше 2, аргумент больше 1, причем аргумент меньше основания. Тогда для выполнения неравенства основание внешнего логарифма должно быть меньше 1, откуда 
при 
получаем 
решим неравенство 
Используя свойство логарифма 
перейдём к основанию 2, получим:
имеем:
получаем: 
Заметим, что 
при любых значениях x. Имеем:
в виде 
на ОДЗ совпадает со знаком дроби 
Поэтому исходное неравенство равносильно системе