Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Многоугольники и их свойства
1.

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам

б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

2.

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

3.

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.

4.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK.

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.

5.

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.

6.

На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.

б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.

7.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E —  на отрезке AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.

б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

8.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.

а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если LM=3 корень из 3, KM = 6 корень из 3, \angle KML=60 градусов.

9.

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

10.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

11.

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.

12.

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N, причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC, если площадь параллелограмма ABCD равна 48.

13.

Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.

а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.

б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 40.

14.

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.

15.

Все четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики.

а) Докажите, что все три четырехугольника, не заштрихованные на нем, тоже равновелики.

б) Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного заштрихованного треугольника равна 1.

16.

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек В и С опущены перпендикуляры на прямую AD. Они пересекают прямые АС и BD соответственно в точках E и F.

а) Докажите, что BCFE — ромб.

б) Найдите отношение площади четырехугольника BCFE к площади вписанного в него круга, если BF : CE = 3 : 4.

17.

Прямая, параллельная гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет АС в точке D, катет BC — в точке E, причем DE = 2 и BE = 1. На гипотенузе взята точка F так, что BF = 1, величина угла FCB равна 30°.

а) Докажите, что треугольник BFE равносторонний.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

18.

Прямая, проходящая через вершину В прямоугольника ABCD, перпендикулярна диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D

а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если BC=6 корень из 21.

19.

Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основанием AD и BC, из которых AD большее, на два подобных треугольника.

а) Докажите, что ∠ABC = ∠ACD.

б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и  косинус \angle CAD= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .

20.

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.

б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.

21.

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;

б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

22.

В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.

а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.

23.

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.

а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.

б) Найти отношение BH к ED, если \angle BCD = 135 градусов.

24.

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N — середины катетов АС и ВС соответственно, СН — высота.

а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б) Пусть Р — точка пересечения прямых АС и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 4 и ВН = 2.

25.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника АВС.

б) Найти SAMBD, если AC = 30, BC = 18 и AB = 24.

26.

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что  косинус \angle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби . В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

27.

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если  косинус \angle BAC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .

28.

Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB1 : B1C = AC1 : C1B. Прямые BB1 и CC1 пересекаются в точке O.

а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что AB1 : B1C = AC1 : C1B = 1 : 4.

29.

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM\botDK.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

30.

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины A опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно.

а) Докажите, что \angle FAH=\angle PAQ.

б) Найдите AH, если AF=a,AP=b и AQ=c.

31.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=6,BC=10 и \angle ACB=30 градусов.

32.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .

б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

33.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.

а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = 30°.

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

34.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.

а) Докажите, что \angle BAC=30 градусов.

б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC =  корень из 21.

35.

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = KO.

б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет  дробь: числитель: 9, знаменатель: 100 конец дроби . площади трапеции ABCD.

36.

Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.

а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.

б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.

37.

Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.

а) Доказать, что MA = MD.

б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.

38.

Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.

а) Доказать, что M делит AD в отношении 2 : 1.

б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC = 4 корень из 13.

39.

Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

40.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, причем AD = 2BC, и точка M внутри трапеции, такая, что \angle ABM=\angle DCM=90 градусов.

а) Докажите, что АM = DM.

б) Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50°, а высота, проведённая из точки M к АD, равна BC.

41.

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO.

а) Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырёхугольника AOBB1, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8.

42.

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а) Докажите, что угол ABC равен 120°.

б) Найдите BH, если AB = 7 и BC=8.

43.

В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.

а) Докажите, что АВ = CD.

б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.

44.

Точка Е — середина стороны квадрата АВСD. Серединные перпендикуляры к отрезкам АЕ и ЕС пересекаются в точке O.

а) Докажите, что \angleAOE=90 градусов.

б) Найдите BO:OD.

45.

Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К соответственно, причем ВР : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3 : 13.

а) Докажите, что углы РDK и РСК равны.

б) Пусть М — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM.

46.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD.

а) Докажите, что ВС || AD.

б) Найдите площадь треугольника АОВ, если длина перпендикуляра, опущенного из точки С на AD, равна 9, а длина отрезка ВС в два раза меньше длины отрезка AD.

47.

Из вершин А и В тупоугольного треугольника АВС проведены высоты BQ и AH. Известно, что угол В — тупой, BC : CH = 4 : 5, BH = BQ.

А) Докажите, что диаметр описанной вокруг треугольника ABQ окружности в  дробь: числитель: 2 корень из 6 , знаменатель: 3 конец дроби раз больше BQ.

Б) Найдите площадь четырехугольника AHBQ, если площадь треугольника HQC равна 25.

48.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD — в точке К. Прямая КО пересекает стороны ВС и AD в точках М и N соответственно, и угол BAD равен 30°. Известно, что в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность.

а) Докажите, что треугольник AKD тупоугольный.

б) Найти отношение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD.

49.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.

б) Найдите площадь треугольника DMG, если AC = 6,BC = 8,AB =10.

50.

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.

51.

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.

52.

В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM=BC и CN=AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.

а) Докажите, что CP и СQ перпендикулярны.

б) Найдите PQ, если BC=3, а AC=5.

53.

На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM = BN =  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KN. Точка P — середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырехугольник BCPM — равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=1 и \angle BCM=15 градусов.

54.

Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.

а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.

б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML.

55.

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём AC1 : C1B = 8 : 3, BA1 : A1C = 1 : 2, CB1 : B1A = 3 : 1. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.

а) Докажите, что ADA1B1 — параллелограмм.

б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 28, BC = 18.

56.

В треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 3 : 2 и A1C1 = 2.

57.

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причём АC1 : С1B = 21 : 10, ВА1 : A1C = 2 : 3, АВ1:В1С = 2 : 5. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.

а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1  — параллелограмм.

б) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 63, ВС = 25.

58.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 5 : 4 и A1C1 = 4.

59.

На боковой стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны.

а) Докажите, что S_ABM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_ABCD.

б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что S_BKC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_AKD, причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.

60.

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника АВС вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы АВ, пересекает катет ВС в точке М.

а) Докажите,  \angle BML= \angle BAC

б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 20 и CM=3 корень из 5

61.

В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN = AC.

а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.

б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС =  8.

62.

Точка Е  — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересекаются в точке L.

а) Докажите, что EL — медиана треугольника КСЕ.

б) Найдите отношение площади треугольника ВLC к площади четырехугольника AKCD, если площадь трапеции ABCD равна 100, а ВС : AD = 2 : 3.

63.

На стороне АВ треугольника АВС взята точка Е, а на стороне ВС — точка D так, что АЕ = 2, CD = 1. Прямые AD и СЕ пересекаются в точке О. Известно, что АВ = ВС = 8, АС = 6.

а) Докажите, что АО : АD = 8 : 11.

б) Найдите площадь четырехугольника BDOE.

64.

На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что \angleAMD=\angleADB и \angleACM=\angleABC. Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD = 20.

а) Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

б) Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности.

65.

Отрезки AK, BL, CN — высоты остроугольного треугольника АВС. Точки Р и Q — проекции точки N на стороны АС и ВС соответственно.

а) Докажите, что прямые PQ и KL параллельны.

б)  Найдите площадь четырехугольника PQKL, если известно, что CN = 12, AC = 13, BC = 15.

66.

В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC.

б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC : AB = 5 : 4.

67.

Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN.

а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.

б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.

68.

Точки E и F расположены соответственно на стороне ВС и высоте ВР остроугольного треугольника АВС так, что AP = 3, PC= дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби , BE : EC = 10 : 1, а треугольник AEF является равносторонним.

а) Докажите, что ортогональная проекция точки Е на АС делит отрезок АС в отношении 1 : 16, считая от вершины С.

б) Найдите площадь треугольника AEF.

69.

В выпуклом четырехугольнике KLMN точки P и Q — середины сторон NK и LM соответственно. Диагональ КМ делит точкой пересечения отрезок PQ пополам.

а)  Докажите, что площадь четырехугольника KLMN в 4 раза больше площади треугольника PMN.

б)  Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника KLMN, если площадь PMN равна 6 корень из 3 , KM = 12, NL = 8.

70.

В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность.

а) Докажите, что угол BCA равен 60°.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 25 и IC = 4.

71.

На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.

72.

На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6.

73.

На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC и ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 10.

74.

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, AB = BM, MC = CD. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD.

а) Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм или трапеция.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM : CM = 1 : 3 и площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AM, DM, BP и CP, равна 18.

75.

В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причем AM : CM = 2 : 3 и  косинус \angle BAC= дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из 5 конец дроби .

а) Докажите, что угол ABC тупой.

б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.

76.

Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N

такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.

а) Докажите, что BM = BN.

б) Найдите MN, если AC = 7,  синус \angle BAD= дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .

77.

Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка M, такая, что CM = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка N, что AD = AN.

а) Докажите, что BM = BN.

б) Найдите MN, если AC = 4,  синус \angle BAD = дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби .

78.

В равнобедренной трапеции ABCD длины оснований AD и BC соответственно равны 4 и 3. Точки M и N лежат на диагонали BD, причем точка M расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD.

а) Докажите, что BN : DM = 3 : 4.

б) Найдите длину отрезка CN, если известно, что BM : DN = 2 : 3.

79.

На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.

б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.

80.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 4, BC = 5 и AC = 6.

а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне BC.

б) Найдите длину биссектрисы треугольника ABC, проведенной из вершины A.

81.

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O, BC и AD — основания трапеции.

а) Докажите, что  дробь: числитель: S_\Delta ABO, знаменатель: S_\Delta AOD конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: AD конец дроби .

б) Найдите площадь трапеции, если AD = 4BC, S_\Delta AOB=2.

82.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Прямые B1C1 и BC пересекаются в точке P.

а) Докажите, что треугольники PBC1 и PB1C подобны.

б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC, если BP = BB1, ∠ABC = 80°, BC=2 корень из 3, а точка B лежит между C и P.

83.

Площадь треугольника ABC равна 10, площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.

а) Доказать, что S в квадрате _ABK=S_ABC умножить на S_AHB.

б) Найти площадь треугольника ABK.

84.

Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.

а) Докажите, что 2\angle BMN=\angle ACB.

б) Найдите BM, если AB = AC = 5, BC = 6.

85.

Точки L и N — середины оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, а точки K и M — середины диагоналей AC и BD соответственно. Известно, что прямые AB и CD перпендикулярны.

а) Докажите, что LN = KM.

б) Найдите высоту трапеции, если площадь четырехугольника KLMN равна 60, а разность оснований трапеции равна 26.

86.

Диагонали АС и ВD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол DAC равен 90°, а угол ACB в 2 раза больше угла ADB. Сумма угла DBС и удвоенного угла ADС равна 180°.

а) Докажите, что ВР = 2AP.

б) Найдите площадь четырёхугольника AВCD, если BD = 8 и точка Р является серединой диагонали BD.

87.

В четырехугольнике ELKA диагонали EK и AL перпендикулярны сторонам AK и EL соответственно. Прямые AK и EL пересекаются в точке M, а угол LMK равен 60°.

а) Докажите, что угол AOE, где O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ELKA, равен 120°.

б)  Найдите длину отрезка MO, если EL=2022 корень из 3, AK = 3EL.

88.

В треугольнике ABC медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Точки K, L, M принадлежат отрезкам AA1, BB1 и CC1 соответственно, причем AK = KA1, BL : LB1 = 1 : 4, CM : MC1 = 1 : 3. Площадь треугольника ABC равна 200.

а) Докажите, что OL : BB1 = 7 : 15.

б) Найдите площадь треугольника KLM.

89.

В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы всех внутренних углов. Четырехугольник, образованный точками пересечения этих биссектрис, имеет площадь, равную двум третям площади параллелограмма ABCD.

а) Докажите, что четырехугольник, образованный точками пересечения биссектрис всех внутренних углов параллелограмма ABCD, является прямоугольником.

б) Найдите отношение длин большей и меньшей сторон параллелограмма ABCD.

90.

Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC с углом 45° при вершине C.

а) Докажите, что треугольник A1B1C1 прямоугольный.

б) Найдите отношение, в котором высота АА1 делит отрезок В1С1, если BC = 2B1C1.

91.

На продолжении стороны AC за вершину A треугольника ABC отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC.

б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 144 и известно отношение AC : AB = 3 : 1.

92.

Дана равнобедренная трапеция ABCD. На боковой стороне AB и большем основании AD взяты соответственно точки F и E так, что FE параллельно CD, а FC=ED.

а) Докажите, что угол BCF равен углу AFE.

б) Найдите площадь трапеции ABCD , если DE=5BF, FE=8 и площадь трапеции FCDE равна 27 корень из 11 .

93.

В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM : MB = CN : NB = 2 : 3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке K.

a) Докажите, что A B плюс B C=4 A C.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если M K= дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби и K N=3.

94.

В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на медианах AK, BL и CN взяты соответственно точки P, Q и R так, что AP = PK, BQ:QL=1:2, а CR:RN=4:5, M — точка пересечения медиан.

а) Докажите, что MR:CN=2:9.

б) Найдите площадь треугольника PQR.

95.

Стороны BC и CD квадрата ABCD являются сторонами равносторонних треугольников BCM и DCN соответственно, точки M и N лежат вне квадрата. Прямая AM пересекает BC в точке K.

а) Докажите, что \angle AMC=45 градусов .

б)  Найдите KN, если AB= корень из 8 плюс 3 корень из 3.

96.

Биссектриса BB1 и высота CC1 треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках М и N. Известно, что  \angle BCA = 85 градусов и \angle ABC = 40 градусов .

а) Докажите, что CN = .

б) Пусть MN и ВС пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 7.

97.

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE=CE.

а) Докажите, что AL умножить на BC=AB умножить на AC.

б) Найдите EL, если AC=8,  тангенс \angle BCA = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

98.

В треугольнике ABC на стороне BC отметили точку D так, что AB = BD. Биссектриса BF пересекает AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.

a) Докажите, что  AB : BC = AE : EK .

б) Найдите отношение площади ABE к площади CDEF, если BD : DC =5: 2.

99.

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что около четырехугольника AMNC можно описать окружность.

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) На стороне отмечена точка F, такая что \angle AFB=135 градусов. Отрезок BF пересекает отрезок MN в точке E. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC, если \angle ABC =120 градусов и EF=6 корень из 2 .