Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Рациональные уравнения и неравенства
1.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение  дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

2.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_0 = 440 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f( v ) = дробь: числитель: f_0 , знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: c конец дроби конец дроби (Гц), где c − скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 315 м/с. Ответ выразите в м/с.

3.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс r конец дроби , где \varepsilon − ЭДС источника (в вольтах), r = 1 Ом — его внутреннее сопротивление, R − сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20\% от силы тока короткого замыкания I_кз = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: r конец дроби  ? (Ответ выразите в омах.)

4.

Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: I = дробь: числитель: U, знаменатель: R конец дроби , где U − напряжение в вольтах, R − сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

5.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле A(\omega ) = дробь: числитель: A_0 \omega _p в квадрате , знаменатель: |\omega_p в квадрате минус \omega в квадрате | конец дроби , где \omega − частота вынуждающей силы (в c в степени ( минус 1) ), A_0 − постоянный параметр, \omega_p = 360c в степени ( минус 1) − резонансная частота. Найдите максимальную частоту \omega , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A_0 не более чем на 12,5\%. Ответ выразите в c в степени ( минус 1) .

6.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R_1=90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R_2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R_1 Ом и R_2 Ом их общее сопротивление даeтся формулой R_общ = дробь: числитель: R_1 R_2 , знаменатель: R_1 плюс R_2 конец дроби (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

7.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой \eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\% , где T_1 − температура нагревателя (в градусах Кельвина), T_2 − температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T_1 КПД этого двигателя будет не меньше 15\%, если температура холодильника T_2 = 340 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

8.

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой m_\textrmв (в килограммах) от температуры t_1 до температуры t_2 (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы m_\textrmдр кг. Он определяется формулой \eta = дробь: числитель: c_\textrmв m_\textrmв(t_2 минус t_1 ), знаменатель: q_\textrmдр m_\textrmдр конец дроби умножить на 100\%, где c_\textrmв = 4,2 умножить на 10 в кубе Дж/(кг умножить на К) − теплоёмкость воды, q_\textrmдр = 8,3 умножить на 10 в степени 6 Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшую массу дров, которую понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m_\rm = 83 кг воды от 10 °C до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.

9.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m = 1260 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной l = 18 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой p = дробь: числитель: mg, знаменатель: 2ls конец дроби , где m − масса экскаватора (в тоннах), l − длина балок в метрах, s − ширина балок в метрах, g − ускорение свободного падения (считайте g=10м/с в квадрате ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

10.

К источнику с ЭДС \varepsilon = 55 В и внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой U = дробь: числитель: \varepsilon R, знаменатель: R плюс r конец дроби . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в омах.

11.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f_0 = 150 Гц и определяется следующим выражением: f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби (Гц), где c − скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=10 м/с и  v =15 м/с — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 160 Гц?

12.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле  v = c дробь: числитель: f минус f_0 , знаменатель: f плюс f_0 конец дроби , где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f_0  — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.

13.

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле P = дробь: числитель: 4mg, знаменатель: Пи D в квадрате конец дроби , где m = 1200 кг — общая масса навеса и колонны, D − диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g=10 м/с в квадрате , а  Пи = 3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.

14.

Автомобиль, масса которого равна m = 2160 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь S = 500 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно F = дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.