Ре­ше­ние. В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. В этом слу­чае пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка вдвое боль­ше суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон, сле­до­ва­тель­но, в дан­ном че­ты­рех­уголь­ни­ке сумма длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна 12, а зна­чит, сто­ро­ны дли­ной 5 и 6 не могут быть про­ти­во­по­лож­ны­ми и яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми.

На­про­тив сто­ро­ны дли­ной 5 лежит сто­ро­на дли­ной 12 − 5  =  7. На­про­тив сто­ро­ны дли­ной 6 лежит сто­ро­на дли­ной 12 − 6  =  6. Боль­шая из этих двух сто­рон имеет длину 7.

Ответ: 7.