PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8.
а) Докажите, что плоскость 
делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 5.
б) Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.
Решение. а) Одна из полученных частей это треугольная пирамида
Её высота равна высоте параллелепипеда, а площадь её основания равна половине площади основания параллелепипеда. Тогда в силу формулы объема пирамиды получаем, что объем пирамиды 
относится к объему параллелепипеда как 1 : 6. А это эквивалентно тому, что требуется доказать.
б) Заметим, что
Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании, равна половине произведения катетов: 
Основание пирамиды лежит в плоскости 
поэтому высотой пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из точки M на эту плоскость. Опустим перпендикуляр ME на прямую 
Поскольку 
и 
(в силу того, что 
отрезок ME является высотой пирамиды: 
Треугольник AME подобен треугольнику 
значит,
Ответ: 50.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |