Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 484558

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8.

а) Докажите, что плоскость BDA_1 делит объем параллелепипеда в отношении 1:5.

б) Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.

Спрятать решение

Решение.

а) Одна из полученных частей это треугольная пирамида A_1ABD. Её высота равна высоте параллелепипеда, а площадь её основания равна половине площади основания параллелепипеда. Тогда в силу формулы объема пирамиды, получаем, что объем пирамиды A_1ABD относится к объему параллелепипеда как 1:6. А это эквивалентно тому, что требуется доказать.

б) Заметим, что V_MB_1C_1D= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_{B_1C_1D умножить на h_M. Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании, равна половине произведения катетов: S_B_1C_1D=6 корень из (89) .

Основание пирамиды лежит в плоскости AB_1C_1D, поэтому высотой пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из точки M на эту плоскость. Опустим перпендикуляр ME на прямую AB_1. Поскольку ME\bot AB_1 и ME\bot AD( в силу того, что  (AD) \bot (AA_1B_1B)), отрезок ME является высотой пирамиды: ME=h_M.

Треугольник AME подобен треугольнику ABB_1, значит,

ME= дробь: числитель: AM умножить на AB, знаменатель: AB_1 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: корень из (89) конец дроби ,

V_MB_1C_1D= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 6 корень из (89) умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: корень из (89) конец дроби =50.

Ответ: 50.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Спрятать решение · ·
Гость 18.05.2012 20:14

Здравствуйте, высота пирамиды, объем которой нам необходимо найти, из данного решения является отрезком EM, но ведь данный отрезок не имеет никакого отношения к пирамиде MB_1C_1D.

Служба поддержки

Отрезок ME является перпендикуляром, опущенным из вершины пирамиды на плоскость ее основания. Это высота пирамиды.

Гость 01.03.2014 16:14

Для нахождения МЕ я рассмотрела треугольник АМЕ, при этом приняв МЕ за х. По теореме Пифагора АЕ=(25-х^2)^1/2. Рассмотрев треугольник АА1В1, можно утверждать, что ctgА1АВ1=8/5. То есть х/((25-х^2)^1/2)=8/5. Если решить это уравнение, получается, что х=40/89^1/2. А искомый объем пирамиды в таком случае равен 80.

Александр Иванов

Вы ошиблись.

Должно быть  дробь: числитель: x, знаменатель: корень из (25 минус х в квадрате ) конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби