PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Площадь параллелограмма ABCD равна 12. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Даны векторы 
Найдите значение выражения 
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только последнюю игру.
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,5. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Найдите корень уравнения 
Найдите 
если 
На рисунке изображён график 
— производной функции 
— и восемь точек на оси абсцисс: 
В скольких из этих точек функция убывает?
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 
выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением 
Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением 
где t — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 150 км от города. Ответ дайте в минутах.
Один мастер может выполнить заказ за 15 часов, а другой — за 10 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
На рисунке изображены графики функций видов
и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 2, точка M — середина ребра CC1.
а) Докажите, что сечение A1MB — равнобедренный треугольник.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 6.
Решите неравенство 
Строительство нового завода стоит 100 миллионов рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 
миллионов рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тысяч рублей за единицу, то прибыль фирмы (в миллионах рублей) за один год составит 
Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 4 года?
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Площадь трапеции BCDE равна
Имеем:
: точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательны. Таких точек 5.
Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства 
при заданных значениях параметров 
и a:
Учитывая, что время — неотрицательная величина, получаем 
то есть 
часов.
откуда a = 3. тогда уравнение функции имеет вид 
и 
и 
откуда 
и 
Значит, высота призмы 
и при 
При 
находим:
то 
или 
причем неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда числа равны. Последним неравенством мы и воспользовались в решении: 
Преобразуем это неравенство в 
Чтобы завод не окупился, необходимо, чтобы это неравенство выполнялось при любом значении x, то есть что бы дискриминант соответствующего уравнения был отрицательным. Находим:
Проверим, что при 
завод окупится: 
при этом цена составит 
и наименьшему значению 
будет соответствовать наименьшее значение p. Подставив выражение для p в неравенство (⁎), получим
Количество выпускаемой продукции должно быть положительной величиной, поэтому минимальное значение 
следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ACC1 — прямоугольный с прямым углом ACC1. Тогда 
что и требовалось доказать.
тогда
также является его решением. Чтобы уравнение имело единственное решение, оно должно иметь корень 
и не должно иметь других корней. Полагая 
находим:
уравнение принимает вид 
и имеет три различных решения: 
поэтому 
то
и имеет единственное решение 
При 
получаем: 
Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим заключаем, что
уравнение не имеет положительных корней, а потому, в силу четности левой и правой частей уравнения, не имеет и отрицательных корней, то есть имеет единственный корень 
и 
и 
Обозначим 
Если 
то 
то 
В этом случае верны неравенства 
и 
Значит, уравнение 
имеет решения отличные от нуля, то есть решений больше одного.
и 
то есть при 
и 
решение. Запишем его в виде 2a = 9b. Ясно, что числа a = 9 и b = 2 являются одним из решений. То есть если 9 юношей отправили по 5 писем и двое юношей отправили по 16 писем, то всего они отправили 77 писем, которые можно распределить между 11 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.
число 11b также должно делиться на a + b. Если a + b не делится на 11, то b делится на a + b, что противоречит условиям 
Значит, a + b делится на 11. Наименьшее натуральное число, делящееся на 11, — это 11. Пример того, что девушек может быть ровно 11, приведён в предыдущем пункте.
писем, а число полученных девушками писем не меньше
то есть 
откуда 
что противоречит условию 
Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 30 девушек получили от 0 до 29 писем и ещё одна — 39. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек — это 31.