Дана тра­пе­ция с диа­го­на­ля­ми рав­ны­ми 5 и 12. Сумма ос­но­ва­ний равна 13.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции равна 17, а её диа­го­на­ли равны 8 и 15.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли тра­пе­ции пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

Дана тра­пе­ция с диа­го­на­ля­ми рав­ны­ми 5 и 12. Сумма ос­но­ва­ний равна 13.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

Дан ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что Точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Во­круг тре­уголь­ни­ка AOC опи­са­на окруж­ность, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ABC и PAC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AB, если BC  =  6 и AC  =  4.

Дан ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что Точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Во­круг тре­уголь­ни­ка AOC опи­са­на окруж­ность, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ABC и PAC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AB, если и AC  =  3.

В четырёхуголь­ник KLMN впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Эта окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны MN в точке A. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка А лежит на пря­мой LO.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны МN, если LA  =  1.

В четырёхуголь­ник KLMN впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Эта окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны MN в точке A. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка А лежит на пря­мой LO.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны МN, если

В четырёхуголь­ник KLMN впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Эта окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны MN в точке A. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка А лежит на пря­мой LO.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны МN, если

В четырёхуголь­ник KLMN впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Эта окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны MN в точке A. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка А лежит на пря­мой LO.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны МN, если LA  =  3.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­та AH и ме­ди­а­на AM, угол ACB равен 30°. Точка H лежит на от­рез­ке BM. В тре­уголь­ни­ке ACM про­ве­де­на вы­со­та MQ. Пря­мые MQ и AH пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Из­вест­но, что AM  — бис­сек­три­са угла HAC.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CFM, если AB  =  10.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол ACB равен 30°, от­рез­ки AH и AM  — вы­со­та и ме­ди­а­на со­от­вет­ствен­но, при­чем точка H лежит на от­рез­ке BM. От­ре­зок MQ  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка AMC, а пря­мые AH и MQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Из­вест­но, что AM  — бис­сек­три­са угла CAH.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMF, если AB  =  8.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD c ост­рым углом DAB. В нем опу­ще­ны вы­со­ты BP и BQ на сто­ро­ны AD и CD со­от­вет­ствен­но. На сто­ро­не AD от­ме­че­на точка M так, что AM  =  BP. Из­вест­но, что AB  =  BQ.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  PQ.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ, если AM  =  BP  =  12, AB  =  BQ  =  15.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD c ост­рым углом BAD из вер­ши­ны B про­ве­де­ны вы­со­ты BP и BQ, при­чем точка P лежит на сто­ро­не AD, а точка Q  — на сто­ро­не CD. На сто­ро­не AD от­ме­че­на точка M. Из­вест­но, что AM  =  BP, AB  =  BQ.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  PQ.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ, если AM  =  BP  =  21, AB  =  BQ  =  29.

Бис­сек­три­са угла B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну AD в точке M. Диа­го­на­ли AC и BD па­рал­ле­ло­грам­ма пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка ABM, ка­са­ет­ся пря­мых BC и OM.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  От­рез­ки AC и BM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка KODM, если OM  =  2.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на вы­со­та СН из вер­ши­ны пря­мо­го угла, АМ и СN  — бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ков ACH и ВСН со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АМ и СN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка МN, если ВС  =  21 и

В ромбе ABCD точки K и L  — се­ре­ди­ны сто­рон BC и CD со­от­вет­ствен­но. Пря­мые AK и AL пе­ре­се­ка­ют диа­го­наль BD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что S_APQ  =  S_BKP + S_DLQ.

б)  Из­вест­но, что в пя­ти­уголь­ник CKPQL можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ее ра­ди­ус, если сто­ро­на ромба ABCD равна 

В ромбе ABCD точки K и L  — се­ре­ди­ны ребер BC и CD со­от­вет­ствен­но. Пря­мые AK и AL пе­ре­се­ка­ют диа­го­наль BD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что S_APQ  =  S_BKP + S_DLQ.

б)  Из­вест­но, что в пя­ти­уголь­ник CKPQL можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ее ра­ди­ус, если сто­ро­на ромба ABCD равна 

Дан ромб ABCD. На диа­го­на­ли AC от­ме­че­ны точки M и N, так что AM  =  NM  =  NC. Пря­мая BM пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке P, а пря­мая BN пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BPDQ равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ADC.

б)  Най­ди­те BD, если из­вест­но, что и около пя­ти­уголь­ни­ка MNQDP можно опи­сать окруж­ность.

Дан ромб ABCD. На диа­го­на­ли AC от­ме­че­ны точки M и N, так что AM  =  NM  =  NC. Пря­мая BM пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке P, а пря­мая BN пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BPDQ равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ADC.

б)  Най­ди­те BD, если из­вест­но, что и около пя­ти­уголь­ни­ка PMNQD можно опи­сать окруж­ность.