Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что 
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P.
а) Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны.
б) Найдите AB, если 
и AC = 3.
а) Пусть угол ABC равен α. Центральный угол COA и вписанный угол CBA опираются на одну дугу, значит, угол COA равен 2α. Вписанные в меньшую окружность углы COA и CPA опираются на одну дугу, следовательно, они равны. Тогда углы CPA и BAC равны 2α. Треугольники ABC и PAC с общим углом C подобны по двум углам.
б) Треугольники ABC и PAC подобны, поэтому угол OAC равен углу ABC, то есть равен α. Тогда луч AP — биссектриса. Из подобия треугольников находим: 
откуда
По свойству биссектрисы 
и потому
Ответ: б) 4.