PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.
а) Докажите, что прямые SB и SD перпендикулярны.
б) Найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.
Решение. а) Основание пирамиды — квадрат, поэтому его диагональ
Отсюда, по обратной теореме Пифагора, угол BSD прямой. Что и требовалось доказать.б) Пусть точка O — центр основания, а M — середина ребра AS. Поскольку 
и 
то плоскость SAC перпендикулярна прямой BD. Это значит, что плоскость SAC и есть плоскость, проходящая через точку A перпендикулярно BD.
Проведем отрезки MD и MO. Так как треугольник SAD правильный, 
Так как треугольник ASO — равнобедренный, 
Следовательно, искомый угол равен углу OMD. Найдем стороны треугольника OMD:
По теореме косинусов:
Ответ: 
Примечание.
Решение существенно упрощается, если заметить, что треугольник MOD — прямоугольный: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |