В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.
а) Докажите, что прямые SB и SD перпендикулярны.
б) Найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.
а) Основание пирамиды — квадрат, поэтому его диагональ
Отсюда, по обратной теореме Пифагора, угол BSD прямой. Что и требовалось доказать.б) Пусть точка O — центр основания, а M — середина ребра AS. Поскольку 
и 
то плоскость SAC перпендикулярна прямой BD. Это значит, что плоскость SAC и есть плоскость, проходящая через точку A перпендикулярно BD.
Проведем отрезки MD и MO. Так как треугольник SAD правильный, 
Так как треугольник ASO — равнобедренный, 
Следовательно, искомый угол равен углу OMD. Найдем стороны треугольника OMD:
По теореме косинусов:
Ответ: 
Примечание.
Решение существенно упрощается, если заметить, что треугольник MOD — прямоугольный: 