РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 484580 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Модуль числа, Неравенства смешанного типа, Неравенства с модулями

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $логарифм по основанию 7 левая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 16 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 7 дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка минус 5, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 16 правая круглая скобка минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 13 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в квадрате .$

Решение. Пусть $t=5 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка ,0 меньше t меньше или равно 1,$ тогда неравенство принимает вид:

$логарифм по основанию 7 левая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 7 дробь: числитель: t минус 5, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка в квадрате .$

Очевидно $t минус 5 меньше 0,$ поэтому $5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 меньше 0,$ то есть $0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби .$ Заметим также, что $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка конец дроби ,$ поэтому больше никаких ограничений на t не возникает. Получаем:

$система выражений логарифм по основанию 7 левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка в квадрате больше логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка в квадрате , 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно система выражений |t минус 5| больше |5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t минус 4|, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно система выражений 5 минус t больше 4 минус 5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби .$ $система выражений логарифм по основанию 7 левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка в квадрате больше логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка в квадрате , 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно система выражений |t минус 5| больше |5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t минус 4|, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5 минус t больше 4 минус 5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби .$ $система выражений логарифм по основанию 7 левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка в квадрате больше логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка в квадрате , 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений |t минус 5| больше |5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t минус 4|, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5 минус t больше 4 минус 5 в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка t, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби конец системы . равносильно 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби .$

Тогда

$5 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 5 в степени левая круглая скобка минус 16 правая круглая скобка равносильно x в квадрате больше 16 равносильно совокупность выражений x больше 4, x меньше минус 4. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность , минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

484580

$левая круглая скобка минус бесконечность , минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4, плюс бесконечность правая круглая скобка .$