ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 484580 Добавить в вариант

Решите неравенство $логарифм по основанию 7 ((5 в степени ( минус x в квадрате ) минус 5)(5 в степени ( минус x в квадрате плюс 16) минус 1)) плюс логарифм по основанию 7 дробь: числитель: 5 в степени ( минус x в квадрате ) минус 5, знаменатель: 5 в степени ( минус x в квадрате плюс 16) минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 7 (5 в степени (13 минус x в квадрате ) минус 4) в квадрате .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t=5 в степени ( минус x в квадрате ) ,0 меньше t меньше или равно 1,$ тогда неравенство принимает вид:

$логарифм по основанию 7 ((t минус 5)(5 в степени (16) t минус 1)) плюс логарифм по основанию 7 дробь: числитель: t минус 5, знаменатель: 5 в степени (16) t минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 7 (5 в степени (13) t минус 4) в квадрате .$

Очевидно $t минус 5 меньше 0,$ поэтому $5 в степени (16) t минус 1 меньше 0,$ то есть $0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени (16) конец дроби .$ Заметим также, что $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени (16) конец дроби меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 в степени (13) конец дроби ,$ поэтому больше никаких ограничений на t не возникает. Получаем:

$система выражений логарифм по основанию 7 (t минус 5) в квадрате больше логарифм по основанию 7 (5 в степени (13) t минус 4) в квадрате , 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени (16) конец дроби конец системы . равносильно система выражений |t минус 5| больше |5 в степени (13) t минус 4|, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени (16) конец дроби конец системы . равносильно система выражений 5 минус t больше 4 минус 5 в степени (13) t, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени (16) конец дроби конец системы . равносильно 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени (16) конец дроби .$

Тогда

$5 в степени ( минус x в квадрате ) меньше 5 в степени ( минус 16) равносильно x в квадрате больше 16 равносильно совокупность выражений x больше 4, x меньше минус 4. конец совокупности .$

Ответ: $( минус принадлежит fty , минус 4)\cup (4, плюс принадлежит fty ).$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 484579: 484580 511294 Все

Классификатор алгебры: Модуль числа, Неравенства смешанного типа, Неравенства с модулями

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.2 Рациональные неравенства, 2.2.3 Показательные неравенства, 2.2.4 Логарифмические неравенства

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Гость 17.08.2013 18:05

У меня почему-то возникает еще одно доп условие (кроме ОДЗ), когда я решаю неравенство с двумя модулями. Первый открываем сразу, как отрицательный, так как $t меньше 1$ , а вот второй модуль, как я считаю, надо рассматривать двумя случаями, ведь при $t=1,$ модуль будет больше ноля. Один у вас представлен — это когда $|5 в степени (13) t минус 4|$ мы открываем как отрицательный. Если же открыть его как положительный будет еще одно условие $t меньше дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 в степени (13) плюс 1 конец дроби .$

Константин Лавров

В этой задаче, никакого второго случая не возникает так как $0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 в степени (16) конец дроби$ и оба подмодульных выражения отрицательны и снимаются однозначно.

Гость 22.01.2015 12:43

Почему не учитывается условие больше 0, а только меньше 5 в - 16 степени?

Александр Иванов

$5 в степени x больше 0$ при любом значении $x$