Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 484579

Решите неравенство

 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени ( минус x в квадрате ) минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени ( минус x в квадрате плюс 16) минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 7 в степени ( минус x в квадрате ) минус 3, знаменатель: 7 в степени ( минус x в квадрате плюс 16) минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени (7 минус x в квадрате ) минус 2 правая круглая скобка в квадрате .

Спрятать решение

Решение.

Пусть t=7 в степени ( минус x в квадрате ) ,0 меньше t меньше или равно 1, тогда неравенство принимает вид:

 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени (16) t минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: 7 в степени (16) t минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате .

Так как t минус 3 меньше 0, имеем 7 в степени (16) t минус 1 меньше 0, а значит, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени (16) конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 в степени 7 конец дроби .

Получаем:

 система выражений логарифм по основанию 2 (t минус 3) в квадрате больше логарифм по основанию 2 (7 в степени 7 t минус 2) в квадрате , 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени (16) конец дроби конец системы . равносильно система выражений |t минус 3| больше \left|7 в степени 7 t минус 2|, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени (16) конец дроби конец системы . равносильно система выражений 3 минус t больше 2 минус 7 в степени 7 t, 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени (16) конец дроби конец системы . равносильно 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени (16) конец дроби .

Поясним: неравенство 3 минус t больше 2 минус 7 в степени 7 t эквивалентно неравенству (7 в степени 7 минус 1)t больше минус 1 и выполнено для всех значений переменной. Итак,

7 в степени ( минус x) в квадрате меньше 7 в степени ( минус 16) равносильно x в квадрате больше 16 равносильно совокупность выражений x больше 4, x меньше минус 4. конец совокупности .

Ответ: ( минус принадлежит fty; минус 4)\cup (4; плюс принадлежит fty ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 484579: 484580 511294 Все

Методы алгебры: Введение замены
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 26.03.2014 16:36

Объясните, пожалуйста : почему 0<t<=1 ?

Александр Иванов

потому, что

x в квадрате \ge0

 минус x в квадрате \le0

0 меньше 7 в степени ( минус x в квадрате ) \le1

Никита Баранов 29.04.2018 16:39

В третьем этапе решения системы неправильно раскрыто неравенство с модулями. Не понятно как это вообще было сделано. Если попробовать построить графики двух модульных функций и решить неравенство графически, решение будет чем-то вроде этого: -(t-3)>+(7^7t-2), где знаки +/- появляются после раскрытия модуля исходя из области определения: D(t)=(0;1]. В итоге выходит t<5/(7^7+1), но до этого найдено, что t<7^-16, при этом t<7^-16<5/(7^7+1), поэтому решение в итоге правильное, хоть и найденное неправильным путём.

Александр Иванов

Решение верное.

Знаки −/− появлялись из-за условия 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени (16) конец дроби .

Из-за этого же условия не рассматривались другие случаи раскрытия модулей.