Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений 
имеет ровно четыре решения.
Решение. Преобразуем данную систему:
Сделав замену переменной 
получаем систему
Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат 
График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 8 и 6, лежат соответственно на осях Ox и Ot, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 
(см. рис.).
Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет условию
В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами, равными 3 и 4, откуда
Во втором случае получаем 
откуда
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |