Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 484641

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений  система выражений  новая строка 4|y минус 3|=12 минус 3|x|,  новая строка y в степени (2) минус a в степени (2) =3(2y минус 3) минус x в степени (2) конец системы . имеет ровно четыре решения.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем данную систему:

 система выражений  новая строка 3|x| плюс 4|y минус 3|=12,  новая строка x в степени (2) плюс y в степени (2) минус 6y плюс 9=a в степени (2) конец системы . равносильно система выражений  новая строка 3|x| плюс 4|y минус 3|=12,  новая строка x в степени (2) плюс (y минус 3) в степени (2) =a в степени (2) . конец системы .

Сделав замену переменной t=y минус 3, получаем систему

 система выражений  новая строка 3|x| плюс 4|t|=12,(1)  новая строка x в степени (2) плюс t в степени (2) =a в степени (2) .(2) конец системы .

Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.

 

График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 8 и 6, лежат соответственно на осях Ox и Ot, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом r=|a| (см. рис.).

Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет условию

3 меньше r меньше 4.

В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами, равными 3 и 4, откуда

r=|a|= дробь: числитель: 3 умножить на 4, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби , a=\pm дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .

Во втором случае получаем 3 меньше |a| меньше 4, откуда

 минус 4 меньше a меньше минус 3 или 3 меньше a меньше 4.

Ответ: a принадлежит \left\\pm дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби \\cup( минус 4, минус 3)\cup(3,4).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. 3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 484641: 484642 Все

Классификатор алгебры: Уравнение окружности
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Илья Карабаев 27.03.2014 13:36

Здравствуйте. Возник вопрос, по поводу этого выражения: 3<r<4? Если радиус находится в этих пределах, то система имеет 6 решений, или я ошибаюсь?

Александр Иванов

Ошибаетесь.

6 решений будет при r = 3.

При 3 < r < 4 система имеет четыре решения