Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений 
имеет
а) ровно четыре решения,
б) ровно 8 решений.
Преобразуем данную систему:
Сделав замену переменной 
получаем систему
Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oty.
График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 24 и 10, лежат соответственно на осях х и Ot, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 
(см. рис.).
Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет соотношению 
где 
— половины меньшей и большей диагоналей ромба соответственно. Радиус вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника с катетами, равными 5 и 12, откуда
Таким образом, система имеет 4 ровно решения, если 
или 
откуда 
или 
Графики имеют 8 общих точек, если радиус окружности удовлетворяет условию 
где 
— радиус окружности, вписанной в ромб. Тогда 
откуда
Ответ: а) 
б) 