СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 484642

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний имеет

а) ровно че­ты­ре ре­ше­ния,

б) ровно 8 ре­ше­ний.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем дан­ную си­сте­му:

Сде­лав за­ме­ну пе­ре­мен­ной , по­лу­ча­ем си­сте­му

За­ме­тим, что ко­ли­че­ство ре­ше­ний по­лу­чен­ной си­сте­мы сов­па­да­ет с ко­ли­че­ством ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы. По­стро­им гра­фи­ки урав­не­ний (1) и (2) в си­сте­ме ко­ор­ди­нат Oty.

 

Гра­фик пер­во­го урав­не­ния — ромб, диа­го­на­ли ко­то­ро­го, рав­ные 24 и 10, лежат со­от­вет­ствен­но на осях х и Ot, а гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом (см. ри­су­нок).

Гра­фи­ки урав­не­ний си­сте­мы имеют ровно че­ты­ре общих точки, и, сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния, тогда и толь­ко тогда, когда окруж­ность либо впи­са­на в ромб, либо ее ра­ди­ус удо­вле­тво­ря­ет со­от­но­ше­нию , где  — по­ло­ви­ны мень­шей и боль­шей диа­го­на­лей ромба со­от­вет­ствен­но. Ра­ди­ус впи­сан­ной в ромб окруж­но­сти равен вы­со­те пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми, рав­ны­ми 5 и 12, от­ку­да

Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет 4 ровно ре­ше­ния, если или от­ку­да или

 

Гра­фи­ки имеют 8 общих точек, если ра­ди­ус окруж­но­сти удо­вле­тво­ря­ет усло­вию где  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб. Тогда от­ку­да

Ответ: а)

б)


Аналоги к заданию № 484641: 484642 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнение окружности, Уравнение окружности