Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 484642

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений  система выражений  новая строка 5|x плюс 2|=60 минус 12|y|,  новая строка 4(x плюс 1) плюс y в степени (2) =a в степени (2) минус x в степени (2) конец системы . имеет

а) ровно четыре решения,

б) ровно 8 решений.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем данную систему:

 система выражений  новая строка 5|x плюс 2|=60 минус 12|y|,  новая строка 4(x плюс 1) плюс y в степени (2) =a в степени (2) минус x в степени (2) конец системы . равносильно система выражений  новая строка 5|x плюс 2| плюс 12|y|=60,  новая строка (x плюс 2) в степени (2) плюс y в степени (2) =a в степени (2) . конец системы .

Сделав замену переменной t=x плюс 2, получаем систему

 система выражений  новая строка 5|t| плюс 12|y|=60,(1)  новая строка y в степени (2) плюс t в степени (2) =a в степени (2) .(2) конец системы .

Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oty.

 

График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 24 и 10, лежат соответственно на осях х и Ot, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом r=|a| (см. рис.).

Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет соотношению 0,5d_1 меньше r меньше 0,5d_2, где 0,5d_1=5, 0,5d_2=12 — половины меньшей и большей диагоналей ромба соответственно. Радиус вписанной в ромб окружности равен высоте прямоугольного треугольника с катетами, равными 5 и 12, откуда

r= дробь: числитель: 5 умножить на 12, знаменатель: 13 конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .

Таким образом, система имеет 4 ровно решения, если |a| = дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби или 5 меньше |a| меньше 12, откуда a= \pm дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби , минус 12 меньше a меньше минус 5 или  5 меньше a меньше 12.

 

Графики имеют 8 общих точек, если радиус окружности удовлетворяет условию r_1 меньше r меньше 0,5d_1, где r_1 — радиус окружности, вписанной в ромб. Тогда  дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби меньше |a| меньше 5, откуда

 минус 5 меньше a меньше минус дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби , дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби меньше a меньше 5.

Ответ: а) a= \pm дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби , минус 12 меньше a меньше минус 5, 5 меньше a меньше 12;

б)  минус 5 меньше a меньше минус дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби , дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби меньше a меньше 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. 3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 484641: 484642 Все

Классификатор алгебры: Уравнение окружности