Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)

Задания

Тип 17 № 484647

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система $система выражений новая строка x в квадрате плюс 12x плюс |y| плюс 27=0, новая строка x в квадрате плюс (y минус a)(y плюс a)= минус 12(x плюс 3) конец системы .$ имеет ровно 4 решения.

Решение. Преобразуем систему:

$система выражений новая строка |y|=9 минус (x плюс 6) в квадрате , новая строка (x плюс 6) в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате . конец системы .$

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):

$y= система выражений новая строка 9 минус (x плюс 6) в квадрате ,y больше или равно 0, новая строка (x плюс 6) в квадрате минус 9,y меньше 0 конец системы .$

Второе уравнение задает окружность радиусом $|a|$ с центром $( минус 6;0).$

На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.

1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.

2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.

Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы $y=9 минус (x плюс 6) в квадрате .$ Получим: $y=9 минус (a в квадрате минус y в квадрате ),$ откуда

$y в квадрате минус y плюс (9 минус a в квадрате )=0.$

Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: $1 плюс 4a в квадрате минус 36=0,$ откуда

$a=\pm дробь: числитель: корень из (35) , знаменатель: 2 конец дроби .$

Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.

Ответ: $( минус 9, минус 3)\cup\left\\pm дробь: числитель: корень из (35) , знаменатель: 2 конец дроби \\cup(3,9).$

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Ответ: $( минус 9, минус 3)\cup\left\\pm дробь: числитель: корень из (35) , знаменатель: 2 конец дроби \\cup(3,9).$

484647

$( минус 9, минус 3)\cup\left\\pm дробь: числитель: корень из (35) , знаменатель: 2 конец дроби \\cup(3,9).$

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484647	$( минус 9, минус 3)\cup\left\\pm дробь: числитель: корень из (35) , знаменатель: 2 конец дроби \\cup(3,9).$