ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 484647 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система $система выражений новая строка x в степени (2) плюс 12x плюс |y| плюс 27=0, новая строка x в степени (2) плюс (y минус a)(y плюс a)= минус 12(x плюс 3) конец системы .$ имеет ровно 4 решения.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

$система выражений новая строка |y|=9 минус (x плюс 6) в степени (2) , новая строка (x плюс 6) в степени (2) плюс y в степени (2) =a в степени (2) . конец системы .$

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):

$y= система выражений новая строка 9 минус (x плюс 6) в степени (2) ,y\geqslant 0, новая строка (x плюс 6) в степени (2) минус 9,y меньше 0 конец системы .$

Второе уравнение задает окружность радиусом $|a|$ с центром $( минус 6;0).$

На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.

1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.

2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.

Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы $y=9 минус (x плюс 6) в степени (2) .$ Получим: $y=9 минус (a в степени (2) минус y в степени (2) ),$ откуда

$y в степени (2) минус y плюс (9 минус a в степени (2) )=0.$

Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: $1 плюс 4a в степени (2) минус 36=0,$ откуда

$a=\pm дробь: числитель: корень из (35) , знаменатель: 2 конец дроби .$

Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.

Ответ: $( минус 9, минус 3)\cup\left\\pm дробь: числитель: корень из (35) , знаменатель: 2 конец дроби \\cup(3,9).$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Аналоги к заданию № 484646: 484647 484648 511316 Все

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Рустем Ильдарович 02.06.2015 23:25

Но ведь в случае а принадлежащего (3;9) получается 8 точек пересечения, т е 8 решений

Александр Иванов

Нет, только 4 точки пересечения.

Пунктирные линии на рисунке не являются графиком первого уравнения.

Ляля Шакирова 07.04.2017 19:33

Почему дискриминат должен быть равен нулю? Тогда же одна точка пересечения...

Александр Иванов

Не одна точка пересечения, а одно значение $y$ . Тогда получаем две точки при $y больше 0$ и еще две точки при $y меньше 0$ , итого четыре точки