Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 484647

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  система выражений  новая строка x в степени (2) плюс 12x плюс |y| плюс 27=0,  новая строка x в степени (2) плюс (y минус a)(y плюс a)= минус 12(x плюс 3) конец системы . имеет ровно 4 решения.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

 система выражений  новая строка |y|=9 минус (x плюс 6) в степени (2) ,  новая строка (x плюс 6) в степени (2) плюс y в степени (2) =a в степени (2) . конец системы .

 

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):

y= система выражений  новая строка 9 минус (x плюс 6) в степени (2) ,y\geqslant 0,  новая строка (x плюс 6) в степени (2) минус 9,y меньше 0 конец системы .

 

Второе уравнение задает окружность радиусом |a| с центром ( минус 6;0).

На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.

1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.

2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.

Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы y=9 минус (x плюс 6) в степени (2) . Получим: y=9 минус (a в степени (2) минус y в степени (2) ), откуда

 

y в степени (2) минус y плюс (9 минус a в степени (2) )=0.

 

Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: 1 плюс 4a в степени (2) минус 36=0, откуда

 

a=\pm дробь: числитель: корень из (35) , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.

 

Ответ: ( минус 9, минус 3)\cup\left\\pm дробь: числитель: корень из (35) , знаменатель: 2 конец дроби \\cup(3,9).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. 3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 484646: 484647 484648 511316 Все

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Рустем Ильдарович 02.06.2015 23:25

Но ведь в случае а принадлежащего (3;9) получается 8 точек пересечения, т е 8 решений

Александр Иванов

Нет, только 4 точки пересечения.

Пунктирные линии на рисунке не являются графиком первого уравнения.

Ляля Шакирова 07.04.2017 19:33

Почему дискриминат должен быть равен нулю? Тогда же одна точка пересечения...

Александр Иванов

Не одна точка пересечения, а одно значение y. Тогда получаем две точки при y больше 0 и еще две точки при y меньше 0, итого четыре точки