СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 484647

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно 4 решения.

Решение.

Преобразуем систему:

 

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рисунок):

 

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром

На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.

1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.

2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.

Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы Получим: , откуда

 

 

Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: , откуда

 

 

Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 484646: 484647 484648 511316 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых», Комбинация «кривых»
Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс · Курс Д. Д. Гущина ·
Рустем Ильдарович 02.06.2015 23:25

Но ведь в случае а принадлежащего (3;9) получается 8 точек пересечения, т е 8 решений

Александр Иванов

Нет, только 4 точки пересечения.

Пунктирные линии на рисунке не являются графиком первого уравнения.

Ляля Шакирова 07.04.2017 19:33

Почему дискриминат должен быть равен нулю? Тогда же одна точка пересечения...

Александр Иванов

Не одна точка пересечения, а одно значение . Тогда получаем две точки при и еще две точки при , итого четыре точки