Задания
Версия для печати и копирования в MS WordТип 17 № 484647 

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно 4 решения.
Решение.
Спрятать критерииПреобразуем систему:
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):
Второе уравнение задает окружность радиусом с центром
На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.
1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.
2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.
Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы Получим:
откуда
Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: откуда
Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.
Ответ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
---|---|
Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
Все прочие случаи. | 0 |
Максимальное количество баллов | 4 |
Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»
Методы алгебры: Выделение полного квадрата
Но ведь в случае а принадлежащего (3;9) получается 8 точек пересечения, т е 8 решений
Нет, только 4 точки пересечения.
Пунктирные линии на рисунке не являются графиком первого уравнения.
Почему дискриминат должен быть равен нулю? Тогда же одна точка пересечения...
Не одна точка пересечения, а одно значение
. Тогда получаем две точки при
и еще две точки при
, итого четыре точки