Преобразуем систему:

Первое уравнение задает части двух парабол:

(см. рис.).

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром На рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки и пересекая параболу еще в четырех точках.

При этом радиус окружности равен откуда или

Ответ:

Преобразуем систему:

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром

На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.

1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.

2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.

Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы Получим: откуда

Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: откуда

Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.

Ответ:

Преобразуем систему:

Первое уравнение задает части двух парабол:

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы в двух точках с положительными ординатами.

Получаем уравнение откуда

которое должно иметь два различных положительных корня меньших 4. Следовательно, поскольку один из подходящих корней всегда положителен, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны:

Ответ: