Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 484648

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  система выражений  новая строка x в степени 2 минус 8x плюс |y| плюс 12=0,  новая строка x в степени 2 плюс (y минус a)(y плюс a)=8(x минус 2) конец системы . имеет ровно 8 решений.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

 система выражений  новая строка |y|=4 минус (x минус 4) в степени 2 ,  новая строка (x минус 4) в степени 2 плюс y в степени 2 =a в степени 2 . конец системы .

Первое уравнение задает части двух парабол:

y= система выражений  новая строка 4 минус (x минус 4) в степени 2 ,y\geqslant 0,  новая строка (x минус 4) в степени 2 минус 4,y меньше 0 конец системы .

Второе уравнение задает окружность радиусом |a| с центром (4;0). На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы y=4 минус (x минус 4) в степени 2 в двух точках с положительными ординатами.

Получаем уравнение y=4 минус (a в степени 2 минус y в степени 2 ), откуда

y в степени 2 минус y плюс (4 минус a в степени 2 )=0,

которое должно иметь два различных положительных корня меньших 4. Следовательно, поскольку один из подходящих корней всегда положителен, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны:

 система выражений  новая строка 1 плюс 4a в степени 2 минус 16 больше 0,  новая строка 4 минус a в степени 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a в степени 2 больше дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка a в степени 2 меньше 4 конец системы . равносильно  система выражений  новая строка |a| больше дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби ,  новая строка минус 2 меньше a меньше 2. конец системы .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. 3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 484646: 484647 484648 511316 Все

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Елена Варзина 22.11.2016 22:11

Радиус должен быть меньше 4, а не 2, так как при R<2 окружность вообще не имеет точек пересечения с параболами.

Александр Иванов

при R=2 будет шесть точек пересечения,

а при 2при R<2 возможно: восемь точек, четыре точки и отсутствие общих точек