
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно 8 решений.
Преобразуем систему:
Первое уравнение задает части двух парабол:
Второе уравнение задает окружность радиусом с центром
На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы
в двух точках с положительными ординатами.
Получаем уравнение откуда
которое должно иметь два различных положительных корня меньших 4. Следовательно, поскольку один из подходящих корней всегда положителен, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны:
Ответ:
Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
---|---|
Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
Все прочие случаи. | 0 |
Максимальное количество баллов | 4 |
Радиус должен быть меньше 4, а не 2, так как при R<2 окружность вообще не имеет точек пересечения с параболами.
при R=2 будет шесть точек пересечения,
а при 2при R<2 возможно: восемь точек, четыре точки и отсутствие общих точек