ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 17 № 484648 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система $система выражений новая строка x в степени 2 минус 8x плюс |y| плюс 12=0, новая строка x в степени 2 плюс (y минус a)(y плюс a)=8(x минус 2) конец системы .$ имеет ровно 8 решений.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

$система выражений новая строка |y|=4 минус (x минус 4) в степени 2 , новая строка (x минус 4) в степени 2 плюс y в степени 2 =a в степени 2 . конец системы .$

Первое уравнение задает части двух парабол:

$y= система выражений новая строка 4 минус (x минус 4) в степени 2 ,y\geqslant 0, новая строка (x минус 4) в степени 2 минус 4,y меньше 0 конец системы .$

Второе уравнение задает окружность радиусом $|a|$ с центром $(4;0).$ На рисунке видно, что система имеет восемь решений, только если радиус окружности меньше 2 и окружность дважды пересекает каждую ветвь каждой из парабол. Это условие в силу симметрии равносильно тому, что окружность пересекает правую ветвь параболы $y=4 минус (x минус 4) в степени 2$ в двух точках с положительными ординатами.

Получаем уравнение $y=4 минус (a в степени 2 минус y в степени 2 ),$ откуда

$y в степени 2 минус y плюс (4 минус a в степени 2 )=0,$

которое должно иметь два различных положительных корня меньших 4. Следовательно, поскольку один из подходящих корней всегда положителен, дискриминант и свободный член этого уравнения должны быть положительны:

$система выражений новая строка 1 плюс 4a в степени 2 минус 16 больше 0, новая строка 4 минус a в степени 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка a в степени 2 больше дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби , новая строка a в степени 2 меньше 4 конец системы . равносильно$ $система выражений новая строка |a| больше дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка минус 2 меньше a меньше 2. конец системы .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Аналоги к заданию № 484646: 484647 484648 511316 Все

Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Елена Варзина 22.11.2016 22:11

Радиус должен быть меньше 4, а не 2, так как при R<2 окружность вообще не имеет точек пересечения с параболами.

Александр Иванов

при R=2 будет шесть точек пересечения,

а при 2при R<2 возможно: восемь точек, четыре точки и отсутствие общих точек