РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 484672 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках

На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $минус 5,$ среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $минус 12.$

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение. Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

$6k минус 12l плюс 0 умножить на m= минус 5 левая круглая скобка k плюс l плюс m правая круглая скобка .$

а)  Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 6, поэтому $k плюс l плюс m$   — количество целых чисел  — делится на 6. По условию $36 меньше k плюс l плюс m меньше 48,$ поэтому

$k плюс l плюс m=42.$

Таким образом, написано 42 числа.

б)  Приведём равенство $6k минус 12l= минус 5 левая круглая скобка k плюс l плюс m правая круглая скобка$ к виду

$7l=11k плюс 5m.$

Так как $m больше или равно 0,$ получаем, что $7l больше или равно 11k,$ откуда $l больше k.$ Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в)  (оценка) Подставим $k плюс l плюс m=42$ в правую часть равенства

$6k минус 12l= минус 5 левая круглая скобка k плюс l плюс m правая круглая скобка :6k минус 12l= минус 210,$

откуда

$k=2l минус 35.$

Так как $k плюс l меньше или равно 42,$ получаем:

$3l минус 35 меньше или равно 42,$ $3l меньше или равно 77,$ $l меньше или равно 25,$ $k=2l минус 35 меньше или равно 15;$

то есть положительных чисел не более 15.

в)  (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раз написано число −12 и два раза написан 0.

Тогда

$дробь: числитель: 6 умножить на 15 минус 12 умножить на 25, знаменатель: 42 конец дроби = дробь: числитель: 90 минус 300, знаменатель: 42 конец дроби = минус 5$

указанный набор удовлетворяет веем условиям задачи.

Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15.

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С6	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15.

484672

а) 42; б) отрицательных; в) 15.

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484672	а) 42; б) отрицательных; в) 15.