Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 484672

На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно  минус 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно  минус 12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Спрятать решение

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

6k минус 12l плюс 0 умножить на m= минус 5(k плюс l плюс m).

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 6, поэтому k плюс l плюс m — количество целых чисел — делится на 6. По условию 36 меньше k плюс l плюс m меньше 48, поэтому

k плюс l плюс m=42.

Таким образом, написано 42 числа.

 

б) Приведём равенство 6k минус 12l= минус 5(k плюс l плюс m) к виду

7l=11k плюс 5m.

Так как m больше или равно 0, получаем, что 7l больше или равно 11k, откуда l больше k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

 

в) (оценка) Подставим k плюс l плюс m=42 в правую часть равенства

6k минус 12l= минус 5(k плюс l плюс m):6k минус 12l= минус 210,

откуда

k=2l минус 35.

Так как k плюс l меньше или равно 42, получаем:

3l минус 35 меньше или равно 42, 3l меньше или равно 77, l меньше или равно 25, k=2l минус 35 меньше или равно 15;

то есть положительных чисел не более 15.

 

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раз написано число −12 и два раза написан 0.

Тогда

 дробь: числитель: 6 умножить на 15 минус 12 умножить на 25, знаменатель: 42 конец дроби = дробь: числитель: 90 минус 300, знаменатель: 42 конец дроби = минус 5

указанный набор удовлетворяет веем условиям задачи.

 

Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С6 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. 3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 500820: 505540 484671 484672 507488 511413 Все