На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому 
— количество целых чисел — делится на 7. По условию 
поэтому 
Таким образом, написано 49 чисел.
б) Приведём равенство 
к виду 
Так как 
получаем, что 
откуда 
Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных.
в) (оценка). Подставим 
в правую часть равенства 
откуда 
Так как 
получаем: 
то есть отрицательных чисел не более 22.
в) (пример). Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число 
и два раза написан 0. Тогда 
удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.
| Критерии оценивания ответа на задание С6 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. | 3 |
| Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2 | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |