Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 484671

На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно  минус 7.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Спрятать решение

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 14k минус 7l плюс 0 умножить на m=4(k плюс l плюс m).

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому k плюс l плюс m — количество целых чисел — делится на 7. По условию 42 меньше k плюс l плюс m меньше 56, поэтому k плюс l плюс m=49. Таким образом, написано 49 чисел.

б) Приведём равенство 14k минус 7l=4(k плюс l плюс m) к виду 10k=11l плюс 4m. Так как m больше или равно 0, получаем, что 10k больше или равно 11l, откуда k больше l. Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных.

в) (оценка). Подставим k плюс l плюс m=49 в правую часть равенства 14k минус 7l=4(k плюс l плюс m):14k минус 7l=196, откуда l=2k минус 28. Так как k плюс l меньше или равно 49, получаем: 3k минус 28 меньше или равно 49,3k меньше или равно 77,k меньше или равно 25, l=2k минус 28 меньше или равно 22, то есть отрицательных чисел не более 22.

в) (пример). Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число  минус 7 и два раза написан 0. Тогда  дробь: числитель: 14 умножить на 25 минус 7 умножить на 22, знаменатель: 49 конец дроби = дробь: числитель: 350 минус 154, знаменатель: 49 конец дроби =4, удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С6 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. 3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки. 2 2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. 1
Все прочие случаи. 0
Максимальное количество баллов 4

Аналоги к заданию № 500820: 505540 484671 484672 507488 511413 Все