Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 507488

На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Спрятать решение

Решение.

a) Напомним, что среднее арифметическое нескольких чисел есть сумма этих чисел, делённая на их количество. Пусть на доске написано n чисел. Тогда их сумма: S = −7n. Обозначим: p — количество положительных чисел, m — количество отрицательных чисел, z — количество нулей. Таким образом, n = p + m + z.

Пусть S+ и S — суммы положительных и отрицательных чисел соответственно. Имеем:

S+ = 6p, S = −12m, и так как S = S+ + S, то: −7n = 6p − 12m. Правая часть данного равенства делится на 6. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, число n делится на 6. Между числами 42 и 54 есть только одно такое число: n = 48.

 

б) Из равенства −7 · 48 = 6p − 12m получаем после сокращения на 6: 2m − p = 56. Кроме того: p + m + z = 48. Сложим полученные равенства: 3m + z = 104. Так как 104 при делении на 3 дает остаток 2, число z также даёт остаток 2: z = 3k + 2. Отсюда: 3m + 3k + 2 = 104, или m = 34 − k.

Соответственно, p = 2m − 56 = 2(34 − k) − 56 = 12 − 2k.

Составляем разность: p − m = (12 − 2k) − (34 − k) = −22 − k < 0, так что p < m — отрицательных чисел написано больше.

 

в) Из равенства p = 12 − 2k видим, что p меньше или равно 12. Приведём пример с p = 12 (тогда k = 0, z = 2, m = 34). Пусть написано 12 чисел 6, 34 числа −12 и два нуля. Этот набор удовлетворяет условию задачи: среднее арифметическое положительных чисел равно, очевидно, 6; среднее арифметическое отрицательных чисел равно −12, а среднее арифметическое всех чисел:

 дробь: числитель: 12 умножить на 6 плюс 34 умножить на ( минус 12), знаменатель: 48 конец дроби = минус 7

Следовательно, наибольшее возможное количество положительных чисел равно 12

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500820: 505540 484671 484672 507488 511413 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год