На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому 
— количество целых чисел — делится на 9. По условию 
поэтому
Таким образом, написано 36 чисел.
б) Приведём равенство 
к виду
Так как 
получаем, что 
откуда 
Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в) (оценка) Подставим 
в правую часть равенства
откуда
Так как 
получаем:
;
то есть положительных чисел не более 16.
в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число −18 и два раза написан 0.
Тогда
указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно выполнены: а, б, в(пример), в(оценка). | 4 |
| Верно выполнены три пункта из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка). | 3 |
| Верно выполнены два пункта из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка). | 2 |
| Верно выполнен один пункт из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |