Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 505540

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Спрятать решение

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

9k минус 18l плюс 0 умножить на m= минус 5(k плюс l плюс m).

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому k плюс l плюс m — количество целых чисел — делится на 9. По условию 27 меньше k плюс l плюс m меньше 45, поэтому

k плюс l плюс m=36.

Таким образом, написано 36 чисел.

 

б) Приведём равенство 9k минус 18l= минус 5(k плюс l плюс m) к виду

13l=14k плюс 5m.

Так как m\geqslant 0, получаем, что 13l\geqslant 14k, откуда l больше k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

 

в) (оценка) Подставим k плюс l плюс m=36 в правую часть равенства

9k минус 18l= минус 5(k плюс l плюс m):9k минус 18l= минус 180,

откуда

k=2l минус 20.

Так как k плюс l\leqslant 36, получаем:

3l минус 20\leqslant 36, 3l\leqslant 56, l\leqslant 18, k=2l минус 20\leqslant 16;

то есть положительных чисел не более 16.

 

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число −18 и два раза написан 0.

Тогда

 дробь: числитель: 9 умножить на 16 минус 18 умножить на 18, знаменатель: 36 конец дроби = дробь: числитель: 144 минус 324, знаменатель: 36 конец дроби = минус 5

указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

 

Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно выполнены: а, б, в(пример), в(оценка).4
Верно выполнены три пункта из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).3
Верно выполнены два пункта из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).2
Верно выполнен один пункт из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500820: 505540 484671 484672 507488 511413 Все