Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 500820

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Спрятать решение

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k минус 8l плюс 0 умножить на m= минус 3(k плюс l плюс m).

а) Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k плюс l плюс m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40 меньше k плюс l плюс m меньше 48, поэтому k плюс l плюс m=44. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведем равенство 4k минус 8l= минус 3(k плюс l плюс m) к виду 5l=7k плюс 3m. Так как m\geqslant 0, получаем, что 5l\geqslant 7k, откуда l больше k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

воценка) Подставим k плюс l плюс m=44 в правую часть равенства 4k минус 8l= минус 3(k плюс l плюс m): 4k минус 8l= минус 132, откуда k=2l минус 33. Так как k плюс l\leqslant 44, получаем: 3l минус 33\leqslant 44, 3l\leqslant 77, l\leqslant 25, k=2l минус 33\leqslant 17; то есть положительных чисел не более 17.

впример) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда  дробь: числитель: 4 умножить на 17 минус 8 умножить на 25, знаменатель: 44 конец дроби = дробь: числитель: 68 минус 200, знаменатель: 44 конец дроби = минус 3, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

 

Ответ:а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно выполнены: а), б), впример), воценка) 4
Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 3
Верно выполнены два пункта из четырех: а), б), впример), воценка) 2
Верно выполнены один пункт из четырех: а), б), впример), воценка) 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500820: 505540 484671 484672 507488 511413 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике., Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике., Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по математике.