Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 511413

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −5.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Спрятать решение

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 5k − 5l + 0 · m = −4(k + l + m).

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 5, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 5. По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 45. Таким образом, написано 45 чисел.

б) Приведём равенство 5k − 5l = −4(k + l + m) к виду l = 9k + 4m. Так как m ≥ 0, получаем, что l ≥ 9k, откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим k + l + m = 45 в правую часть равенства 5k − 5l = −4(k + l + m), откуда k = l − 36 . Так как k + l ≤ 45, получаем: 2l − 36 ≤ 45, 2l ≤ 81, l ≤ 40, k = l − 36 ≤ 4, то есть положительных чисел не более 4.

в) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 4. Пусть на доске 4 раза написано число 5, 40 раз написано число −5 и один раз написан 0. Тогда  дробь: числитель: 5 умножить на 4 минус 5 умножить на 40, знаменатель: 45 конец дроби = минус 4, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

 

Ответ: а) 45; б) отрицательных; в) 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 500820: 505540 484671 484672 507488 511413 Все