Бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, пер­вый член ко­то­рой мень­ше 10, не со­дер­жит ни од­но­го числа вида Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма пер­вых 10 чле­нов этой про­грес­сии?

Набор со­сто­ит из 33 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых есть числа 3, 4 и 5.

Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых 27 чисел этого на­бо­ра мень­ше 2.

а)  Может ли такой набор со­дер­жать ровно 13 еди­ниц?

б)  Может ли такой набор со­дер­жать менее 13 еди­ниц?

в)  До­ка­жи­те, что в любом таком на­бо­ре есть не­сколь­ко чисел, сумма ко­то­рых равна 28.

На доске на­пи­са­но более 42, но менее 54 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −7, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 6, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −12.

а)  Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б)  Каких чисел боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Можно ли при­ве­сти при­мер пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 1512 и

а)  пять;

б)  че­ты­ре;

в)  три

из них об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

Все члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии  — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа, за­клю­чен­ные между чис­ла­ми 210 и 350.

а)  может ли такая про­грес­сия со­сто­ять из че­ты­рех чле­нов?

б)  может ли такая про­грес­сия со­сто­ять из пяти чле­нов?