СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 514920

Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5.

Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Ре­ше­ние.

Если сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых 27 чисел на­бо­ра мень­ше 2, то сумма любых 27 чисел на­бо­ра мень­ше 27 · 2 = 54. Бу­дучи на­ту­раль­ным чис­лом, эта сумма не пре­вос­хо­дит 53.

Обо­зна­чим S мак­си­маль­ную сумму 27 чисел дан­но­го на­бо­ра. Итак,

а) Да, может. Такой набор со­дер­жит 13 еди­ниц, 17 двоек и 3, 4, 5. Для него, оче­вид­но,

На­во­дя­щее со­об­ра­же­ние очень про­стое. Если есть ровно 13 еди­ниц и 3, 4, 5, то остав­ши­е­ся 17 ва­кан­сий за­пол­ня­ют­ся как ми­ни­мум двой­ка­ми. Вот и возьмём набор с этими 17-ю двой­ка­ми! Ясно, что мак­си­маль­ная сумма S по­лу­чит­ся, если в ка­че­стве сла­га­е­мых взять 3, 4, 5 и все двой­ки, до­брав оста­ток еди­ни­ца­ми.

б) Пред­по­ло­жим, что набор со­дер­жит k еди­ниц Осталь­ные 30 − k чисел на­бо­ра (по­ми­мо 3, 4, 5) назовём ва­кант­ны­ми. Ва­кант­ных чисел, стало быть, не менее 18, и каж­дое ва­кант­ное число не мень­ше 2.

Таким об­ра­зом, наш набор со­дер­жит 3, 4, 5 и во­сем­на­дцать чисел, не мень­ших 2; осталь­ные числа на­бо­ра не мень­ше 1. Для мак­си­маль­ной суммы S тогда по­лу­ча­ем:

Дан­ное не­ра­вен­ство по­ка­зы­ва­ет, что набор не может со­дер­жать менее 13 еди­ниц.

в) За­ме­тим сразу, что если набор со­дер­жит не менее 16 еди­ниц, то

По­это­му остаётся разо­брать слу­чаи, когда ко­ли­че­ство k еди­ниц в на­бо­ре менее 16.

Осталь­ные 30 − k чисел (по­ми­мо 3, 4, 5) про­дол­жа­ем на­зы­вать ва­кант­ны­ми.

При k = 13. Легко ви­деть, что набор, предъ­яв­лен­ный в пунк­те а), ока­зы­ва­ет­ся един­ствен­ным

на­бо­ром с ровно три­на­дца­тью еди­ни­ца­ми. В самом деле, для лю­бо­го дру­го­го та­ко­го на­бо­ра сумма 17-ти ва­кант­ных чисел будет боль­ше и сумма S ста­нет боль­ше 53. А для предъ­яв­лен­но­го на­бо­ра имеем:

При k = 14 или k = 15. За­ме­тим, что среди ва­кант­ных чисел обя­за­тель­но найдётся двой­ка. В самом деле, иначе все ва­кант­ные числа (ко­то­рых, со­от­вет­ствен­но, 16 или 15) будут не мень­ше 3, и тогда их сумма ока­жет­ся как ми­ни­мум что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Остаётся взять 14 еди­ниц и эту двой­ку:

До­ка­за­тель­ство за­кон­че­но.

 

Ответ: а) да; б) нет.

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках, Числовые наборы на карточках и досках